Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

Présentation de la thèse
Proposition 1. Lorsque le paramètre de corrélation est fixé, le nombre de rachats est stochastiquement
croissant en p : pour p 0 ∈ (0, 1) fixé, si p < p ′ alors
M (p,p0 ) ≤ 1 M (p ′ ,p 0 ).
D’autre part, la variance et les primes stop-loss E [(M − m) + ] pour 0 ≤ m ≤ n sont
également croissantes en p 0 (à p fixé). Ce résultat se retrouve grâce à la proposition :
Proposition 2. Lorsque la probabilité individuelle de rachat p est fixée, le paramètre de corrélation
induit un ordre 2-convex du nombre de rachats : pour p ∈ (0, 1) fixé, si p 0 < p ′ 0
alors
M (p,p0 ) ≤ 2 M (p,p ′
0
).
Cette proposition montre aussi que si p 0 < p ′ 0 , il existe un niveau α 0 ∈ (0, 1) tel que pour
α > α 0 ,
( ) ( )
V aR α M(p,p0 ) < V aRα M (p,p ′
0 ) .
Enfin, nous déduisons de ces deux résultats que l’écart de taux (∆r) induit un ordre convexe
croissant du nombre de rachats, ainsi que des propriétés intéressantes sur les moments de
la distribution du nombre de rachats et certaines mesures de risque. D’un point de vue plus
pratique, les propriétés sur la Value-at-Risk et les primes stop-loss seront les résultats d’intérêt
pour un assureur dans une optique de gestion de risque.
La mise en oeuvre de ces théories permet par exemple de se rendre compte que le risque
majeur en termes de besoin en capital se traduit lors de l’apparition de la corrélation dans un
contexte ordinaire, ou même que la taille du portefeuille ne permet pas de mutualiser le risque
de corrélation des comportements de rachat contrairement aux idées reçues.
Le chapitre 3 établit le lien entre les idées développées aux chapitres 1 et 2 : nous présentons
la théorie des modèles mélanges appliquée à notre problématique, et proposons une
méthodologie d’étude pour la modélisation probabiliste des comportements de rachat sur un
portefeuille réel d’Assurance-Vie. Pour cela, nous effectuons des mélanges de régressions logistiques,
dont la densité s’exprime comme
f(y j ) =
G∑
π i f i (y j ),
i=1
où π i est la proportion de la composante i dont la densité est donnée par
f i (y j ) = f(y j ; p i (X j )) = P (Y j = y j ) = C y j
N j
p i (X j ) y j
(1 − p i (X j )) N j−y j
,
∀i ∈ 1, G.
y j est le nombre de rachats observés dans le groupe homogène j (comportant N j assurés) de
la composante i, et p i (X j ) résulte du lien logistique
p i (X j ) = exp(XT j β i)
1 + exp(X T j β i) ,
avec X j = (X j1 , ..., X jp ) T le vecteur des p covariables de l’individu j, β i = (β i1 , ..., β ip ) T le
vecteur des p coefficients de régression de la composante i.
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