Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

4.4. Applications
Proposition 7. (Convergence forte de l’estimateur ML cc E pour mélange de GLMs).
Soit M G un mélange de GLMs à G composantes, tel que défini en section 4.3.2. L’espace des
paramètres Ψ G , de dimension K G , satisfait Ψ G ⊂ R K G.
Si l’ensemble des paramètres Ψ G est compact et que nous imposons les restrictions sur les
MLccE
paramètres donnés par le tableau 4.2, alors l’estimateur ˆψ
G
est fortement convergent vers
le meilleur ensemble de paramètre Ψ b G
sous-jacent à la distribution des données.
Démonstration. La preuve est immédiate quand on sait que les contraintes imposées sur la
famille GLM permettent de satisfaire les hypothèses (H2-B) et (H3-B). L’ensemble des paramètres
étant compact, le tour est joué.
Proposition 8. (Consistance faible de ICL c pour mélanges de GLMs, cas compact).
Soit {M g } 1≤g≤m une collection de mélanges de GLMs de paramètres {ψ g } 1≤g≤m ∈ {Ψ g } 1≤g≤m
et de dimension {K g } 1≤g≤m , avec Ψ g ⊂ R Kg . Ces modèles sont classés dans un ordre croissant
de complexité, avec K 1 ≤ K 2 ≤ ... ≤ K m .
Le critère de sélection ICL c est faiblement consistant : le nombre de composantes du mélange
de GLMs sélectionné via ce critère converge en probabilité vers le nombre théorique de
composantes de la densité mélange sous-jacente.
Démonstration. La preuve est immédiate quand on sait que les contraintes imposées sur la
famille GLM (tableau 4.2) permettent de satisfaire les différentes hypothèses du théorème 9.
L’expression de la pénalité du critère ICL c ainsi que le fait que l’estimateur ML cc E soit
fortement convergent vers le paramètre théorique complètent l’argumentation de cette preuve.
4.4 Applications
Nous proposons dans cette partie de revenir sur les applications développées tout au long
de la thèse, et de voir en quoi ce dernier chapitre peut être utile à la fois d’un point de vue
théorique mais aussi d’un point de vue opérationnel.
4.4.1 Quelques remarques importantes
Il est intéressant de comparer les résultats obtenus infra avec ceux fournis dans le chapitre
3 et les annexes. En effet, l’objectif était de diminuer la dimension des modèles en
supprimant certaines des composantes qui se ressemblaient fortement. Notre objectif initial
étant d’être capable de distinguer clairement différents types de comportement de rachat, le
critère ICL de sélection de modèle est ici employé. Nous allons voir dans ces nouvelles applications
que celui-ci répond bel et bien à nos attentes : dans la grande majorité des cas, il
permet de s’affranchir de certaines composantes présentes dans un modèle sélectionné par le
BIC, tout en améliorant la qualité d’estimation des coefficients de régression. Les composantes
restantes ont des caractéristiques nettement mieux différentiables, ce qui vient renforcer l’idée
de “clusters comportementaux” facilement identifiables. Il aurait été intéressant de tracer la
densité du mélange de GLMs afin de clairement la visualiser (et donc de détecter d’éventuels
“overlap” entre densités des composantes), mais ceci est rendu relativement complexe du fait
de la multidimensionnalité des données. Les densités de chaque composante du mélange sont
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