Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

Chapitre 4. Sélection de mélange de GLMs
A partir de cette observation et en se servant de l’équation (4.16) , nous en déduisons après
un changement de variable que ∀t ∈ R + ,
∫ t
0
√H(u, Ψ g (σ))du ≤ √ ∫ t
)
K g
√ max
(ln 2‖L′ ‖ 2 σ
, 0 du
0
u
≤ √ √
K g min(t, 2‖L ′ e
‖ 2 σ) ln
t
min(
2‖L ′ ‖ 2 σ
, 1).
(4.17)
En appliquant le lemme 7 avec les équations (4.15), (4.16) et (4.17), on obtient
avec
∀σ > 0, E f 0
[
sup S n (ln L cc (ψ g ) − ln L cc (ψg))
b
ψ g∈Ψ g(σ)
]
≤ ϕ(σ),
ϕ(t) = α ɛ
√ n
√
Kg ɛ‖L ′ ‖ 2 t
√
ln 2e
ɛ
( )
4
+ 2
3 ‖L‖ ∞ + ‖L ′ ‖ 2 t K g ln 2
√
+ (1 + 6ɛ)‖L ′ ‖ 2 t
2n ln 1
P(A) + 8 3 ‖L‖ ∞ ln 1
P(A) .
Nous pouvons vérifier que ϕ(t)
t
est décroissante, d’où la conclusion : ∀β > 0
[
]
E A S n (ln L cc (ψ g ) − ln L cc (ψg))
b
sup
ψ g∈Ψ g
‖ψg b − ψ g ‖ 2 ∞ + β 2 ≤ 4 β 2 ϕ(β).
En choisissant ɛ = 1 et en appliquant le lemme 6, nous obtenons : ∀η > 0, ∀β > 0,
P (A ≤ B) > 1 − e −η ,
avec
⎧
S n (ln L cc (ψ g ) − ln L cc (ψ ⎪⎨
g))
b
A = sup
ψ g∈Ψ g
‖ψ g − ψg‖ b 2 ∞ + β 2 ,
⎪⎩ B = α ( √nKg
β 2 ‖L ′ ‖ 2 β √ ln 2e + (‖L‖ ∞ + ‖L ′ ‖ 2 β)K g ln 2 + ‖L ′ ‖ 2 β √ )
nη + ‖L‖ ∞ η .
Plus concrètement, le corollaire suivant donne les conditions suffisantes pour obtenir l’hypothèse
(H4-C). De fait, ce corollaire est issu d’une application directe du lemme 8, où les
constantes sont bien choisies. L’utilisation du lemme apparait dans la preuve du corollaire.
142