Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

Chapitre 4. Sélection de mélange de GLMs
obtenons :
⎛(
N [ ] (ɛ, {ln L cc : ψ G ∈ ˜Ψ G ∩ B q }, ‖.‖ r ) ≤ max ⎝
Puis, nous en concluons le résultat final sachant que
‖L ′ ‖ r diam ˜Ψ G
ɛ
) KG
, 1⎞
N [ ] (ɛ, {ln L cc : ψ G ∈ ˜Ψ G }, ‖.‖ r ) ≤ N [ ] (ɛ, ∪ Q q=1 {ln L cc : ψ G ∈ ˜Ψ G ∩ B q }, ‖.‖ r ).
⎠ .
Nous utilisons dans cette démonstration le fait que Ψ G soit toujours localement convexe :
en effet, il est couvert par un ensemble de boules ouvertes, qui sont elle-mêmes convexes. Il
ne reste ensuite plus qu’à appliquer le lemme 2 à l’enveloppe convexe de l’intersection de Ψ G
avec chacune de ces boules ouvertes. Par cette technique, nous obtenons le résultat sur l’espace
compact entier.
Si nous résumons, l’hypothèse (H3-A) du théorème 4 est satisfaite dès lors que certaines
propriétés de régularité sont respectées par la classe de fonction considérée (ici la vraisemblance
L cc ). Nous énonçons un dernier lemme qui ne nous servira pas directement dans cette section,
mais dont nous aurons besoin afin de prouver les propriétés de consistance du critère ICL.
Lemme 4. Soit r ≥ 2. Soient K G ∈ N ∗ et Ψ G ⊂ R K G
un ensemble convexe.
Soit Ψ O G un ouvert de RK G
tel que Ψ G ⊂ Ψ O G et ln L cc : Ψ O G × Rd −→ R.
ψ ∈ Ψ O G ↦→ ln L cc(ψ; y) est supposée C 1 (f 0 -presque partout) sur Ψ O G .
Supposons que
Et
L(y) = sup |ln L cc (ψ G ; y)| < ∞
ψ∈Ψ G
‖L‖ ∞ = ess sup L(Y ) < ∞.
Y ∼f 0
∣∣ ∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ( )
L ′ ∂ ln Lcc
(y) = sup
ψ∈Ψ G
∂ψ
[
‖L ′ ‖ 2 = E f 0 L ′ (Y ) 2] 1 2
< ∞.
(ψ;y)
< ∞
∣∣ ∞
f 0 dλ − p.s.,
f 0 dλ − p.s.,
Alors ∀ ˜Ψ G ⊂ Ψ G , ∀ɛ > 0,
⎛
N [ ] (ɛ, {ln L cc (ψ) : ψ ∈ ˜Ψ G }, ‖.‖ r ) ≤ max ⎝ ( ⎞
2 r−2 ‖L‖ r−2
r
∞ ‖L ′ ‖ 2 diam ˜Ψ )
G
KG
, 1 ⎠ .
ɛ r 2
Démonstration. Même raisonnement que la démonstration du lemme 2, mais avec un remaniement
de la formule du TAF qui fait apparaître la norme infinie de L. Nous utilisons cette
fois l’inégalité suivante :
∣∣
(
|ln L cc (ψ 1 ; y)−ln L cc (ψ 2 ; y)| r ≤
sup
ψ∈[ψ 1 ,ψ 2 ]
( )∣∣ ∂ ln Lcc ∣∣∣ ∣∣∣
2
∣∣
∂ψ
‖ψ 1 −ψ 2 ‖ 2 ∞
∞
2 sup |ln L cc (ψ; y)|
{ψ 1 ,ψ 2 }
) r−2
130