Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

Chapitre 4. Sélection de mélange de GLMs
Démonstration. Soit ɛ > 0, ˜Ψ G ⊂ Ψ G convexe et borné. Soit ˜Ψ G,ɛ une grille de pas ɛ dans Ψ G
qui couvre ˜Ψ G dans toutes ses dimensions. Par exemple, ˜Ψ 1 Kg
G,ɛ
, ..., ˜Ψ
G,ɛ avec
∀k ∈ 1, K g , ˜Ψk G,ɛ =
{
˜ψk min , ˜ψ k min + ɛ, ..., ˜ψ k max
}
,
où
∀k ∈ 1, K g ,
{ψ k : ψ ∈ ˜Ψ
}
G ⊂
[
˜ψk min − ɛ 2 , ˜ψ k max + ɛ 2]
.
Comme Ψ G est convexe, cette grille existe toujours. Pour simplifier, nous supposons sans perte
de généralité que ˜Ψ G,ɛ ⊂ ˜Ψ G . D’après la définition de la norme ‖.‖ ∞ , nous sommes en mesure
de borner les écarts entre les points de la grille et n’importe quel point de l’espace (et ce dans
toutes les dimensions) :
∀ ˜ψ G ∈ ˜Ψ G , ∃ ˜ψ G,ɛ ∈ ˜Ψ G,ɛ tel que ‖ ˜ψ G − ˜ψ G,ɛ ‖ ≤ ɛ 2 .
Nous en déduisons immédiatement que le cardinal de ˜Ψ G,ɛ est au plus de
max
( KG
∏
k=1
sup ψ∈ ˜ΨG
ψ k G − inf ψ∈ ˜Ψ G
ψ k G
ɛ
, 1
)
⎛(
≤ max ⎝
diam ˜Ψ G
ɛ
) KG
, 1⎞
Soient ψ 1 et ψ 2 dans Ψ G , et y ∈ R d . D’après le théorème des accroissements finis,
( )
∂ ln Lcc
|ln L cc (ψ 1 ; y) − ln L cc (ψ 2 ; y)| ≤ sup
‖ψ
ψ∈[ψ 1 ,ψ 2 ] ∣∣
∂ψ
(ψ;y)
∣∣ 1 − ψ 2 ‖ ∞ f 0 dλ − p.p.
∣∣ ∞
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ( )
∂ ln Lcc
≤ sup
‖ψ 1 − ψ 2 ‖ ∞ f 0 dλ − p.p.
ψ∈Ψ G
∂ψ ∣∣ ∞
(ψ;y)
≤ L ′ (y) ‖ψ 1 − ψ 2 ‖ ∞ f 0 dλ − p.p.
Soit ˜ψ G ∈ ˜Ψ G , prenons ˜ψ G,ɛ ∈ ˜Ψ G,ɛ tel que ‖ ˜ψ G − ˜ψ G,ɛ ‖ ∞ ≤ ɛ 2 . Alors,
∀y ∈ R d , |ln L cc ( ˜ψ G,ɛ ; y) − ln L cc ( ˜ψ G ; y)| ≤ L ′ (y) ɛ 2 ,
⎠ .
et donc
ln L cc ( ˜ψ G,ɛ ; y) − ɛ 2 L′ (y) ≤ ln L cc ( ˜ψ G ; y) ≤ ln L cc ( ˜ψ G,ɛ ; y) + ɛ 2 L′ (y).
En prenant en compte l’hypothèse selon laquelle ‖L ′ ‖ r < ∞; et sachant que la largeur de cet
intervalle est de ɛL ′ , nous constatons que l’ensemble des ɛ‖L ′ ‖ r crochets noté
{[
ln L cc ( ˜ψ G,ɛ ; y) − ɛ 2 L′ (y); ln L cc ( ˜ψ G,ɛ ; y) + ɛ ]
2 L′ (y)
: ˜ψG,ɛ ∈ ˜Ψ G,ɛ
}
⎛(
couvre
{ln L cc ( ˜ψ G ) : ˜ψG ∈ ˜Ψ
}
G et a un cardinal d’au plus max ⎝
diam ˜Ψ
) KG
G
, 1⎞
⎠.
ɛ
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