Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

Corollaire 1. Soit K g ∈ N ∗ et Ψ g ⊂ R Kg convexe.
Soit Ψ O g un ouvert de R Kg tel que Ψ g ⊂ Ψ O g . Soit ln L cc : Ψ O g × R d −→ R.
Supposons que :
- ψ g ∈ Ψ O g ↦→ ln L cc (ψ g ; y) est f 0 dλ- presque partout C 1 sur Ψ O g .
4.2. Sélection de modèle mélange
Soit ψg b ∈ Ψ g tel que E f 0[ln L cc (ψg; b Y )] = max E f 0[ln L cc (ψ g ; Y )].
ψ g∈Ψ g
⎧
⎪⎨ L(y) = sup | ln L cc (ψ g ; y) | < ∞ f 0 dλ-p.s.,
ψ g∈Ψ
- Supposons que
O g
⎪⎩ ‖L‖ ∞ = ess sup L(Y ) < ∞.
Y ∼f 0
⎧
( ⎪⎨ L ′ ∂ ln Lcc
(y) = sup
< ∞ f
- Supposons que
ψ g∈Ψ O ∣∣
∂ψ
g
g
)(ψ 0 dλ-p.s.,
g;y)
∣∣ ∞
⎪⎩
‖L ′ ‖ 2 = E f 0[L ′ (Y ) 2 ] 1 2 < ∞.
- Supposons de plus que I ψ b g
= ∂2 (
)
∂ψg
2 E f 0[ln L cc (ψ g ; Y )]
|ψg
b
⎧
( )
⎪⎨
Soit ( ˆψ n ) n≥1 tel que ˆψ
L n ( ˆψ 1
n ) ≥ L n (ψg) b − O P ,
n ∈ Ψ g , avec
n
⎪⎩ P
ˆψ n −→
n→∞ ψb g.
Alors
n ‖ ˆψ n − ψ b g‖ 2 ∞ = O P (1).
est inversible.
La constante inclue dans O P (1) dépend de K g , ‖L‖ ∞ , ‖L ′ ‖ 2 et I ψ b g
.
Démonstration. Soit ɛ > 0 tel que la boule fermée B(ψg, b ɛ) ⊂ Ψ O g . Si l’on suppose comme
dans ce corollaire que ˆψ P
n −→
n→∞ ψb g, il existe un rang n 0 ∈ N ∗ à partir duquel ˆψn ∈ B(ψg, b ɛ)
avec grande probabilité. Puisque B(ψg, b ɛ) est convexe, et que les hypothèses du corollaire sont
conformes avec l’application du lemme 8, nous l’appliquons à ˆψ n : ∀n ≥ n 0 , ∀β > 0, ∀η > 0,
P (A ≤ B) > 1 − e −η , (4.18)
⎧
⎪⎨ A = S n(ln L cc ( ˆψ n ) − ln L cc (ψg))
b
avec
‖ ˆψ
,
n − ψg‖ b 2 ∞ + β 2
⎪⎩ B = α ( √nKg
β 2 ‖L ′ ‖ 2 β + (‖L‖ ∞ + ‖L ′ ‖ 2 β)K g + ‖L ′ ‖ 2 β √ )
nη + ‖L‖ ∞ η .
De plus, on suppose que I ψ b g
est inversible, ce qui permet d’écrire que ∀ψ g ∈ B(ψ b g, ɛ),
E f 0 [ln L cc (ψ g )] − E f 0
[ ]
ln L cc (ψg)
b
= (ψ g − ψg) b T I ψ b g
(ψ g − ψg) b + r(‖ψ g − ψg‖ b 2 ∞)‖ψ g − ψg‖ b 2 ∞
(
)
≥ ‖ψ g − ψg‖ b 2 ∞ 2α ′ + r(‖ψ g − ψg‖ b 2 ∞) ,
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