Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

4.2. Sélection de modèle mélange
Autrement dit, le M-estimateur ML cc E tend presque sûrement vers le meilleur estimateur
possible (inconnu). La preuve de ce théorème se décompose comme suit :
Démonstration. Soit ɛ > 0 fixé. Posons
[
]
η = E f 0 ln L cc (ψG; b Y )
− sup E f 0 [ln L cc (ψ G ; Y )] .
d(ψ G ,Ψ b G )>ɛ
Nous savons d’après (H1-A) et (H2-A) que η existe et que η > 0.
D’après l’hypothèse (H3-A), nous obtenons :
[
∃n 0 ∈ N, ∀n ≥ n 0 , sup |L n (ψ G ) − E f 0 [ln L cc (ψ G )]| < η
ψ G ∈Ψ G
3
et par définition de l’estimateur ˆψ G ,
[
∃n 0 ∈ N, ∀n ≥ n 0 , L n ( ˆψ G ) ≥ L n (ψG) b − η ]
p.s.
3
Enfin en décomposant l’erreur entre le M-estimateur et le meilleur paramètre, on obtient
]
p.s.,
E f 0
[ ] [
ln L cc (ψG)
b − E f 0 ln L cc ( ˆψ
]
G ) ≤