Mélanges de GLMs et nombre de composantes : application ... - Scor

4.2. Sélection de modèle mélange
On accroît ensuite n pour avoir n (pen(K g ) − pen(K g b)) > v avec une grande probabilité
(H3-C). Nous obtenons immédiatement
IC(K g)
{ }} {
−L n ( ˆψ g ) + pen(K g ) ≥ −L n ( ˆψ g b) − v n + pen(K g)
> −L n ( ˆψ g b) + pen(K g b)
> IC(K g b).
Encore une fois, nous avons avec grande probabilité ĝ ≠ g.
Finalement, la formule des probabilités totales (les sommes concernent des ensembles dénombrables,
typiquement inclus dans N ∗ ) donne
P(ĝ ≠ g b ) = ∑ g≠g b
g∈E
P(ĝ = g)
} {{ }
−→0
n→∞
+ ∑ P(ĝ = g) ,
} {{ }
g /∈E −→0
n→∞
et nous en déduisons le résultat : P(ĝ ≠ g b ) −→
n→∞
0.
Il est à noter qu’une convergence en probabilité au lieu de presque sûre pour (H2-C) suffit
à obtenir le même résultat final. L’ajout d’une condition supplémentaire pour la forme de la
pénalité (de type “Nishii (1988)”), et une convergence presque sûre dans (H4-C) permettraient
d’ailleurs d’étendre ce théorème à une version “presque sûre”, mais nous n’avons malheureusement
pas encore réussi à prouver la convergence presque sûre de (H4-C). Etant donné la
définition du critère ICL c et le fait que l’estimateur ML cc E soit fortement convergent vers le
paramètre théorique, nous nous doutons que ce critère permettra de sélectionner un modèle
dont le nombre de composantes convergera faiblement vers le nombre théorique de clusters
des observations. En effet, la pénalité (comme pour le BIC) permet intuitivement de satisfaire
(H3-C). De plus, cette pénalité satisfait les conditions de Nishii (1988) pour avoir un critère
consistant.
Résultats auxiliaires fondamentaux Il nous reste principalement à discuter de l’hypothèse
(H4-C). Les conditions pour satisfaire (H4-C) reposent sur de multiples résultats que
nous allons évoquer dans cette partie. Nous commençons cependant par démontrer la proximité
entre (H2-C) et certains résultats vus au préalable.
Lemme 5. Soit Ψ g ⊂ R Kg et ln L cc : Ψ g × R d . Soit Ψ b g = arg max E f 0[ln L cc (ψ g ; Y )].
ψ
⎧
g∈Ψ g
⎨L n ( ˆψ g ; y) ≥ L n (ψg; b y) − ξ n , où ξ n ≥ 0 p.s. et ξ n −→ 0 p.s.,
Supposons que
∣
⎩ sup
L n (ψ g ; y) − E f 0[ln L cc (ψ g ; Y )] ∣ −→ 0 p.s.
ψ g∈Ψ g
Alors L n ( ˆψ g ; y) −→
n→∞
E f 0[ln L cc (ψ b g; Y )]
p.s.
Démonstration. Soit ν > 0.
D’après la première hypothèse, nous avons
[
∃n 0 ∈ N, ∀n ≥ n 0 , L n (ψg; b y) − L n ( ˆψ g ; y) < ν ]
2
p.s.
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