Enrico Feoli, Paola Ganis - UniversitÃ degli Studi di Trieste

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dimensioni consente di ordinare i rilievi o le specie o entrambi in sequenza e quindi di ristrutturare la tabella dei dati riordinando le righe e/o le colonne secondo tali sequenze. 2.0 1.0 asse 2 0.0 -1.0 -2.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 asse 1 (a) (b) (c) Fig. 8.1 Rappresentazione grafica di punti in uno spazio ridotto formato da assi che sono combinazioni di variabili originali. (a) ordinamento bidimensionale in cui e' evidente una tendenza di variazione lungo una curva (b) ordinamento bidimensionale di punti formanti una nube isodiametrica (c) ordinamento tridimensionale. 8.1 METODI LINEARI Tradizionalmente sono considerati lineari quei metodi di ordinamento basati sull'assunto che le relazioni tra le variabili siano di tipo lineare. Questi metodi, comprendenti l’analisi delle componenti principali, l’analisi fattoriale, l’analisi della correlazione canonica e l’analisi discriminante costituiscono, assieme all'analisi della varianza multipla e della regressione multipla, la statistica multivariata lineare. Ciononostante, si possono includere nei metodi lineari tutti quei metodi che, sebbene non presumano relazioni lineari tra le variabili, utilizzano l'algebra lineare delle matrici per costruire gli assi di ordinamento delle variabili/specie o degli oggetti/rilievi. Essi prevedono in sequenza le seguenti due operazioni: 1) calcolo della matrice simmetrica descrivente le relazioni tra le variabili o tra gli oggetti. Nel primo caso si tratta di una matrice di varianza-covarianza o di correlazione secondo la modalita' di analisi R (vedi paragrafo 6.2) e nel secondo di una matrice di prodotti scalari o di distanze 7 secondo la modalita' di analisi Q. I passi di calcolo di questa operazione sono gia' stati descritti nel capitolo 7 relativo alla classificazione. Ricordiamo soltanto che da una matrice X(mxn) di m righe/variabili e n colonne/oggetti si perviene ad una matrice quadrata simmetrica R di ordine m o ad una matrice Q di ordine n, secondo lo schema riportato in Fig. 8.2, applicando uno degli indici suddetti. 2) estrazione di autovalori ed autovettori dalla matrice simmetrica allo scopo di ottenere ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 7 La matrice di distanza viene trasformata in una matrice di somiglianza secondo una delle formule indicate al paragrafo 7.7.1 prima di procedere alla seconda operazione. 8-97
assi (autovettori) perpendicolari tra loro e ruotati rispetto al sistema originario di coordinate lungo le direzioni di massima dispersione. 8 La metodologia matematica relativa a questo punto e' piuttosto complessa e la sua piena comprensione implica la conoscenza di nozioni dell'algebra delle matrici. Nel mondo scientifico esistono molti programmi di calcolo che svolgono agilmente i numerosi calcoli implicati nel metodo e possono quindi essere utilizzati nella completa ignoranza dell'insieme di operazioni da eseguire. Riteniamo tuttavia utile, per un piu' consapevole utilizzo del metodo, soffermarci nella descrizione del calcolo degli autovalori ed autovettori delle matrici simmetriche consigliando la consultazione di testi di algebra lineare per spiegazioni piu' dettagliate a riguardo. Oggetti Q(nxn) Variabili Oggetti X(mxn) Variabili R(mxm) Fig. 8.2 Dalla matrice X di m variabili x n oggetti, sono calcolate due matrice simmetriche: la matrice R di mxm variabili e la matrice Q di nxn oggetti. Poiche' il metodo e' sostanzialmente identico per entrambe le matrici R e Q, adottiamo il simbolo S(pxp) per indicare la generica matrice simmetrica di similarita’ 9 , equivalente a R o Q, di ordine p corrispondente a m righe/variabili o n colonne/oggetti. Ad ogni matrice quadrata simmetrica S di ordine p sono associati p valori scalari λ i (i=1,2,…,p) e p vettori B i tali da soddisfare la seguente equazione fondamentale: ( SB − λ B ) = 0 (8.1) i i i che, raccogliendo B i , puo’ essere espressa anche nella forma: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 8 Dal punto di vista matematico in questo processo la matrice simmetrica viene decomposta in una matrice di autovettori e in una matrice diagonale, tale cioe’ che solo gli elementi sulla diagonale, che rappresentano le varianze delle variabili, risultino positivi (autovalori) e tutti gli altri (covarianze) uguali a zero. 9 Ad una qualunque matrice di somiglianza, che puo' essere vista come una trasformazione dei dati originali, si possono applicare i metodi di analisi multivariata lineari e non lineari. Per ottenere la matrice S si possono utilizzare anche funzioni non lineari. In questo caso gli autovettori sono da intendersi solo come combinazioni lineari dei vettori della matrice di somiglianza. 8-98
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5.1 TRASFORMAZIONE DELLE VARIABILI.
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1 . I N T R O D U Z I O N E Che cos
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la teoria della gravitazione univer
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giusto. Se nella stanza dei figli i
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disordine ha valori tutti uguali in
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3.2 TIPI DI VARIABILI Come indica i
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numeri 1,2,3,4,5 attribuendo agli s
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schema di campionamento che puo’
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Il poligono di frequenza e' un graf
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Mediana = 120 +10 [50/2-(4+6+8)]/10
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appresentativo dell’insieme dei d
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La varianza e’ una statistica imp
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l'ipotesi nulla (H 0 ). Il piu' del
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test di significativita’ si chiam
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t = | µ N 1 + N σ N N 1 − µ 2
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varianza tra i gruppi (V inter ) ca
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DV intraB DV intraC 96.6 = 1350.12
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Bibliografia Magurran, A. E. 1988.
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