Enrico Feoli, Paola Ganis - UniversitÃ degli Studi di Trieste

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5 . T R A S F O R M A Z I O N E D E I D A T I Prima di sottoporre un insieme di dati organizzati in forma matriciale ad analisi multivariata, puo' essere opportuna una trasformazione dei valori delle variabili e/o degli oggetti. 5.1 TRASFORMAZIONE DELLE VARIABILI Per la maggior parte delle analisi la trasformazione dei valori delle variabili che descrivono gli oggetti e’ necessaria quando le variabili sono misurate su scale e/o unita' di misura differenti e puo' essere facoltativa quando le variabili, pur misurate in maniera omogenea, presentano valori con ordine di grandezza molto diverso. Nel primo caso la trasformazione ha lo scopo di rendere omogenei i dati, cioe' compatibili, e di permettere quindi il confronto tra oggetti o tra variabili. Ad esempio volendo classificare i terreni di una determinata regione, le misure del ph, espresse in valori compresi tra 0 e 14, e del contenuto di azoto misurato in parti per milione, pur essendo entrambe di scala razionale, dovranno essere trasformate poiche’ la loro unita' e’ differente. Nel secondo caso la trasformazione ha lo scopo specifico di cambiare i pesi delle variabili uniformandoli ed e’ utilizzata proprio quando si desidera che l’elaborazione non sia influenzata eccessivamente dall’ordine di grandezza dei valori delle variabili. Ad esempio, se la quantita’ di una specie di pesci valutata in una serie di stazioni e’ dell’ordine del migliaio e quella relativa ad una seconda specie e’ dell’ordine della decina, il ricercatore trasformera’ i valori di abbondanza di ciascun pesce solo se non ritiene importante questa differenza quantitativa che e’ intrinsecamente legata all’ecologia della specie. Alle volte torna utile trasformare le variabili che si presentano gia’ omogenee spostandone solamente l'origine nel punto corrispondente al valore minimo, tramite un'operazione di traslazione (5.1) o in coincidenza del baricentro con l’operazione di centratura (5.2). In questo caso non c’e’ nessuna alterazione del peso delle variabili. Di seguito sono riportate alcune delle trasformazioni piu' usate per variabili misurate in scala intervallare e razionale in cui x t rappresenta il valore trasformato della variabile x, n il numero di valori della variabile, x il valore medio e x min e x max i valori minimo e massimo. Traslazione x t = x − x (5.1) min Centratura x t = x − x (5.2) 5-61
Centratura relativa x − x x t = (5.3) n −1 Standardizzazione con la deviazione standard (variabile z) z = x = t x − x ∑( x − x) n 2 (5.4) Rapporto con il valore massimo x t = x x max (5.5) Rapporto con l’intervallo di valori x t x − x x − x min = (5.6) max min Normalizzazione x t = x ∑ x 2 i (5.7) Normalizzazione della variabile centrata x − x x t = ∑ − 2 (5.8) ( x x) Le trasformazioni (5.5), (5.6) e (5.7) producono valori compresi tra 0 e 1. Di queste, la prima rapporta i valori originali al valore massimo della variabile, e la seconda rapporta i valori originali, sottratti del valore minimo, all’intervallo della variabile. Le trasformazioni (5.2), (5.3), (5.4) e (5.8) generano valori negativi e positivi perche' traslano l'origine dell’asse della variabile nel punto con coordinate uguali alla media. La trasformazione (5.4) crea la variabile standardizzata z i cui valori al 99,73% sono compresi tra –3 e +3 (vedi Fig. 4.6); la trasformazione (5.7) normalizza i dati perché ogni valore è rapportato alla norma o lunghezza del vettore della variabile (corrispondente al denominatore della formula); la variabile normalizzata assume lunghezza unitaria. La trasformazione (5.8) normalizza i dati dopo che sono stati centrati e produce quindi valori compresi tra –1 e +1. Sebbene i termini standardizzazione e normalizzazione siano spesso utilizzati in senso ampio per indicare un qualsiasi processo di trasformazione che uniformi i dati, in senso stretto essi fanno riferimento solo alle trasformazioni rispettivamente (5.4) e (5.7), (5.8). Nell’analizzare le matrici dei dati con le tecniche multivariate si deve tenere presente che pochi sono i coefficienti adimensionali, quelli cioe’ che sono indipendenti dalla scala e dall'unita' di misura delle variabili e che, pertanto, possono essere applicati anche senza la trasformazione preliminare delle variabili. Tra questi citiamo il coefficiente di correlazione [eq. (7.17)], l'indice di somiglianza di Gower [eq. (7.21)] per dati misti e gli indici probabilistici che non sono trattati in questa dispensa. Quando nei dati coesistono variabili qualitative a due o piu’ stati, variabili ordinali, variabili 5-62
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E’ interessante fare notare che i
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Cio’ significa, per esempio, che
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10.3 MODELLI DI DISTRIBUZIONE DI AB
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Bibliografia Magurran, A. E. 1988.
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