Enrico Feoli, Paola Ganis - UniversitÃ degli Studi di Trieste

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Y Y y 2 y 1 a b 4 a 3 2 1 c d b x 1 x 2 X 1 2 3 4 X Fig. 7.1 – Rappresentazione grafica della distanza euclidea in uno spazio a due dimensioni. Essa e’ il segmento che unisce i punti a e b. Fig. 7.2 – Esempio di come la distanza euclidea puo’ essere maggiore tra oggetti simili che tra oggetti non aventi nulla in comune. La distanza euclidea ha un inconveniente di cui bisognerebbe tenere conto in certe circostanze. Essa puo’ risultare inferiore tra due oggetti completamente diversi che tra due molto simili. La Fig. 7.2, che riporta i valori della Tab. 7.1, mostra graficamente questa situazione: si puo’ osservare come tra gli oggetti c e d, che non hanno niente in comune, c’e’ una distanza inferiore a Tab. 7.1 Tabella in cui quattro oggetti sono descritti da 2 variabili. Si noti che gli oggetti c e d non hanno nulla in comune. a b c d x 2 4 0 1 y 4 3 1 0 quella tra a e b. Per superare questo inconveniente, che si puo’ verificare quando nella matrice dei dati ci sono parecchi valori uguali a zero, si applica la distanza euclidea dopo aver normalizzato gli oggetti secondo la (5.8). Questa trasformazione, uniformando la lunghezza dei vettori-oggetto, colloca tutti i puntioggetto sulla superficie di un’ipersfera di raggio unitario e fa si’ che la distanza euclidea vari tra 0 e √2. E’ sempre √2 quando due oggetti non hanno nulla in comune ed e’ uguale a 0 quando i due oggetti sono uguali, cioe’ hanno una posizione coincidente nello spazio. La distanza euclidea cosi’ trasformata prende il nome di distanza della corda perche’ misura il segmento (corda) che sottende l’arco che unisce i due punti-oggetto nella superficie ipersferica. Essa puo’ essere calcolata direttamente secondo la seguente formula: m ⎛ ⎞ ⎜ ∑ xiaxib ⎟ i= 1 D corda = 2⎜1− ( a, b) ⎟ 2 2 (7.2) ⎜ ∑ xia ∑ xib ⎟ ⎝ ⎠ 7-75
7.3 MISURE PER DATI QUANTITATIVI: FUNZIONI GEOMETRICHE DI SOMIGLIANZA Tra le funzioni di somiglianza, il prodotto scalare è definito come prodotto delle norme di due vettori per il coseno dell'angolo α che includono, secondo la formula seguente: S m 2 2 = ∑ x ia ∑ x cosα (7.3) PS ( a, b) ib i= 1 i= 1 m La Fig. 7.3 mostra graficamente il concetto di somiglianza basato sul prodotto scalare. Quando l’angolo tra i due vettori e’ zero il coseno dell’angolo e’ 1 e i due elementi giacciono sulla stessa retta o sono coincidenti. Quanto piu’ e’ grande il prodotto scalare, cioe’ quanto piu’ approssima il quadrato della norma del vettore piu’ lungo, tanto piu’ i due elementi sono simili. Y a α ab b α ac c X Fig. 7.3 L’angolo α compreso tra i vettori da’ indicazione della loro somiglianza. Gli oggetti a e b sono piu’ simili di quanto non lo siano a e c perché α ab < α ac.. Nell’algebra lineare il prodotto scalare e’ definito come la somma dei prodotti dei valori corrispondenti di due vettori secondo la formula seguente: S PS ( a, b) m = ∑ x x (7.4) i= 1 ia ib dalla quale si deduce che esso assume valore zero quando i due elementi a confronto non hanno nessun carattere in comune e valori via via crescenti in rapporto al numero di caratteri condivisi e ai loro valori. Il valore massimo del prodotto scalare dipende quindi dalle lunghezze dei vettori a confronto, cioe’ dal numero di variabili e dalla loro unita' di misura; pertanto per rendere confrontabili i prodotti scalari e' necessario rapportarli alle norme dei vettori in maniera tale che varino in un intervallo tra 0 ed 1. Una normalizzazione del prodotto scalare e’ data proprio dal coseno dell'angolo la cui 7-76
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Enrico Feoli, Paola Ganis INTRODUZI
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5.1 TRASFORMAZIONE DELLE VARIABILI.
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1 . I N T R O D U Z I O N E Che cos
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3.2 TIPI DI VARIABILI Come indica i
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numeri 1,2,3,4,5 attribuendo agli s
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Il poligono di frequenza e' un graf
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Bibliografia Magurran, A. E. 1988.
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