Enrico Feoli, Paola Ganis - UniversitÃ degli Studi di Trieste

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E’ interessante fare notare che il numero di componenti principali che si ottengono con l’algoritmo Q (autovettori della matrice di somiglianza Q) e’ uguale al numero di componenti principali che si ottengono applicando l’algoritmo R alla stessa matrice originale dei dati. A prima vista questo non sembrerebbe cosi’ ovvio essendo l’ordine della matrice Q diverso da quello della matrice R. In realta’ poiche’ la matrice Q e’ il risultato di una elaborazione che tiene conto dell’informazione di tutte le variabili della tabella originale, e’ matematicamente dimostrato 17 che le soluzioni della sua equazione caratteristica producono un numero p di autovalori positivi minore o uguale al valore minimo tra il numero di variabili e il numero di oggetti diminuito di una unita’ [p≤min(m,n -1)]. Cio’ significa che non e’ possibile estrarre piu’ di m componenti quando gli n oggetti sono piu’ numerosi delle m variabili e, in questo caso, esse saranno in un numero tanto inferiore a m quanto piu’ le variabili sono correlate tra loro. Se invece il numero degli oggetti e’ piu’ piccolo del numero di variabili, significa che le numerose variabili sono ridondanti nella descrizione degli oggetti 18 . In questo caso la geometria multidimensionale ci dice che sono necessarie un numero massimo di n-1 dimensioni per posizionare nello spazio n oggetti rispettando la loro distanza: ad esempio la distanza tra due punti e’ misurabile lungo una retta cioe’ in un’unica dimensione, quella fra tre punti e’ rappresentabile in un piano cioe’ in due dimensioni e cosi’ via. 8.2.3 Algoritmo D L'algoritmo D permette l'esecuzione del PCA anche disponendo di una matrice D(nxn) di distanze euclidee. Infatti, sulla base della relazione esistente tra distanza euclidea e prodotto scalare (7.11), ciascun valore d ij della matrice D è trasformato nella matrice Q secondo la seguente equazione: q ij 2 = −0.5d + 0.5( D + D − D ) (8.16) ij i j t dove: n 2 ∑ di. i=1 Di = n D n n n 2 ∑ d. j ∑ ∑ j=1 i= 1 j= 1 j = Dt = 2 n Ottenuta la matrice Q, il calcolo procede come descritto nel paragrafo precedente. n d 2 ij ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 17 Si rimanda ai testi di algebra lineare la spiegazione della decomposizione spettrale di una matrice quadrata simmetrica e la decomposizione singolare di una matrice rettangolare. 18 Infatti per caratterizzare in maniera univoca n oggetti e’ sufficiente un numero di n variabili ciascuna descrivente un solo oggetto. 8-115
8.2.4 Esempio di calcolo Eseguiamo l'analisi delle componenti principali sulla matrice dei dati di Tab. 8.1, la cui matrice S di varianza-covarianza tra le specie e i relativi autovettori ed autovalori sono gia’ stati calcolati e illustrati nell'esempio 8.1.1. Prima di procedere nell'utilizzo di uno qualsiasi degli algoritmi R, Q o D, secondo quanto suggerito in Tab. 8.3, centriamo i valori delle specie trasformandoli con l’equazione (5.3) e otteniamo la matrice A di Tab. 8.5. Tab. 8.5 Matrice dei dati di Tab. 8.1 centrati con la trasformazione (5.3). specie rilievi Tab. 8.6 Componenti principali dei dati di Tab. 8.1 calcolate con l’algoritmo R utilizzando la matrice di covarianza. Si osservi che la somma dei quadrati degli elementi delle componenti corrisponde agli autovalori corrispondenti (vedi Tab. 8.2). 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 ∑ y ij 1 -0.8 -0.3 1.2 -1.3 1.2 Y 1 -0.82 -0.18 1.40 -1.46 1.057 5.925 2 -0.2 0.3 0.8 0.7 -0.2 Y 2 -0.09 -0.38 -0.34 0.21 .602 0.675 Applicando la formula (8.7), moltiplichiamo la matrice dei dati centrati A per la matrice trasposta B’ degli autovettori (Tab. 8.2) estratti dalla matrice S di varianza-covarianza delle specie e ricaviamo la matrice delle componenti principali Y, riportata anche in Tab. 8.6: Y ⎛0.939 = B ' A = ⎜ ⎝ 0.345 0.345 ⎞ ⎛ − 0.8 − 0.3 1.2 −1.3 1.2 ⎞ ⎛ − 0.82 − 0.18 1.4 −1.46 1.06⎞ ⎟ × ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ − 0.939⎠ ⎝ − 0.2 0.3 0.8 0.7 − 0.2⎠ ⎝ − 0.09 − 0.38 − 0.34 0.21 0. 6 ⎠ Il calcolo dettagliato del prodotto righe per colonne delle due matrici per quattro elementi della matrice risultato e’ dato come esempio da: y y 11 12 ...... y y 21 22 = = = = ( 0.939) × ( − 0.8) + ( 0.345) × ( − 0.2) ( 0.939) × ( − 0.3) + ( 0.345) × ( 0.3) = −0.819 = −0.178 ( 0.345) × ( − 0.8) + ( − 0.939) × ( − 0.2) = − ( 0.345) × ( − 0.3) + ( − 0.939) × ( 0.3) = −0. 385 0.088 (8.12): Per normalizzare le coordinate delle specie a √λ trasformiamo gli autovettori B’ secondo la b b 11 12 0.939× = 1 0.345× = 1 5.925 5.925 = 2.2857 = 0.8398 b b 21 22 0.345× 0.675 = = 0.2834 1 − 0.939× 0.675 = = −0.7715 1 8-116
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Enrico Feoli, Paola Ganis INTRODUZI
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5.1 TRASFORMAZIONE DELLE VARIABILI.
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1 . I N T R O D U Z I O N E Che cos
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la teoria della gravitazione univer
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molteplicita’ dell’ecosistema,
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giusto. Se nella stanza dei figli i
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disordine ha valori tutti uguali in
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3.2 TIPI DI VARIABILI Come indica i
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numeri 1,2,3,4,5 attribuendo agli s
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volte, possono essere espressi sott
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un’ulteriore forma conveniente e
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schema di campionamento che puo’
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che rappresenta l'ampiezza uguale p
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Il poligono di frequenza e' un graf
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Mediana = 120 +10 [50/2-(4+6+8)]/10
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appresentativo dell’insieme dei d
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La varianza e’ una statistica imp
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colpo d’occhio quale delle altre
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frequenze relative quando il numero
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all'asse X, mentre la deviazione st
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l'ipotesi nulla (H 0 ). Il piu' del
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test di significativita’ si chiam
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t = | µ N 1 + N σ N N 1 − µ 2
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varianza tra i gruppi (V inter ) ca
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DV intraB DV intraC 96.6 = 1350.12
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∑( x − x)( y − y) r = (4.31)
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Leggendo nella tavola di Appendice
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completamente chiarita dall’equaz
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Sostituendo i valori dei coefficien
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k 2 2 (| fok − fak | −0.5) χ =
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Quanto piu’ i valori osservati si
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calcolata col software specifico, d
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5 . T R A S F O R M A Z I O N E D E
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intervallari e razionali (dati mist
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Page 80 and 81: Y Y y 2 y 1 a b 4 a 3 2 1 c d b x 1
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