Enrico Feoli, Paola Ganis - UniversitÃ degli Studi di Trieste

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L'indice di Gower varia tra 0 e 1. Il complemento dell'indice a 1 da' la distanza di Gower. 7.7 COSTRUZIONE DI MATRICI SIMMETRICHE La similarita’ tra gli elementi di una matrice valutata con una qualsiasi delle funzioni appena descritte e’ sempre interpretabile come vicinanza degli elementi stessi nello spazio multidimensionale. Calcolare la funzione tra tutte le unita’ di studio prese a coppie equivale a valutare tutte le posizioni reciproche tra gli elementi in termini di vicinanza o di distanza. Questi valori possono essere convenientemente tabulati in una matrice (S) quadrata simmetrica di somiglianza, distanza o correlazione (Tab. 7.3), nella quale ogni valore s ij rappresenta il valore della funzione di similarita’ tra le unita’ i e j. La simmetria della matrice e' dovuta al fatto che la somiglianza, distanza o correlazione tra le unita’ i e j e' la stessa che intercorre tra le unita’ j e i. Se n sono le unita’ da classificare, la funzione di similarita’ viene calcolata un numero di volte p=n(n+1)/2 corrispondente al numero di combinazioni a due tra tutte le unita’, cioe’ al numero di confronti possibili, compresi quelli con se’ stesse. Esso costituisce il numero degli elementi della matrice triangolare alta o bassa della matrice simmetrica. Sulla diagonale della matrice simmetrica si leggono i valori della funzione applicata alle unita’ con se’ stesse e pertanto costituiscono sempre valori minimi di distanza o valori massimi di somiglianza o correlazione. Se la matrice simmetrica e' una matrice di distanza, gli elementi sulla diagonale hanno tutti valore 0; se, invece, e' una matrice di somiglianza, gli elementi sulla diagonale assumono tutti valore 1 per funzioni di somiglianza relativa, o maggiore di uno per funzioni non normalizzate o con valore massimo dell’indice >1. Tab. 7.3 Matrice quadrata simmetrica di similarita’. I valori sulla diagonale sono incorniciati ed evidenziati in grassetto. Essi dividono la matrice in due porzioni di forma triangolare. I valori della matrice triangolare alta sono simmetricamente uguali a quelli della triangolare bassa, cioe’ s ij =s ji . 1 2 3 … n 1 s 11 s 12 s 13 ... s 1n 2 s 21 s 22 s 23 s ji s 2n S = 3 s 31 s 32 s 33 ... s 3n … … s ij ... … ... n s n1 s n2 s n3 ... s nn 7.7.1 Trasformazioni dei valori delle funzioni In generale, si possono trasformare i valori delle funzioni di somiglianza (S) in valori di 7-83
distanza (D) e viceversa tramite formule come le seguenti: D = 1-S (7.23) D = - log S (7.24) D = 1 / (1 + S) (7.25) Le prime due sono applicabili a valori di somiglianza o di distanza compresi tra 0 ed 1, la terza anche a valori di funzioni con valore massimo non definito. 7.8 ESEMPIO DI CALCOLO 7.8.1 Dati quantitativi Consideriamo i dati di una semplice matrice (Tab. 7.4) in cui sono riportati i valori quantitativi relativi a tre specie osservate in quattro unita’ di campionamento. Nell’ultima colonna si leggono le medie dei valori di abbondanza per ciascuna specie. Tab. 7.4 Dati relativi all’abbondanza di tre specie in quattro unita’ di campionamento. 1 2 3 4 media Specie A 10 5 15 20 12.5 Specie B 12 20 0 0 8 Specie C 0 10 7 15 8 I passaggi di calcolo degli indici di distanza e somiglianza applicati alle unita’ 1 e 2 e del coefficiente di correlazione tra le specie A e B sono illustrati di seguito. Distanza euclidea [eq. (7.1)]: 2 2 2 Deuclidea (1,2) = (10 -5) + (12 − 20) + (0 −10) = 13.75 Distanza della corda [eq. (7.2)]: D corda (1,2) = ⎛ 2⎜1− ⎜ ⎝ (10 2 10 × 5 + 12 × 20 + 0 × 10 + 12 2 + 0 2 ) × (5 2 + 20 2 + 10 2 ⎞ ⎟ = ) ⎟ ⎠ 7-84
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Bibliografia Magurran, A. E. 1988.
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