Enrico Feoli, Paola Ganis - UniversitÃ degli Studi di Trieste

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8.2 ANALISI DELLE COMPONENTI PRINCIPALI L'analisi delle componenti principali, sinteticamente indicata con la sigla PCA (Principal Component Analysis) rappresenta, tra i metodi di ordinamento lineare, quello maggiormente usato dagli ecologi. La prima applicazione in ecologia e' avvenuta per opera di Goodall nel 1954, ma le basi delle tecniche risalgono a Pearson all’inizio dello stesso secolo e i successivi perfezionamenti a Hotelling nel 1933; piu' recentemente, in campo ecologico, una solida impostazione del metodo e' stata data da Orloci nel 1978. Lo scopo principale dell’analisi e' quello di descrivere gli stati degli oggetti osservati (rilievi, individui) con un numero ridotto di variabili originali. Queste sono sintetizzate in altre variabili, chiamate componenti principali, tutte indipendenti tra loro ed ottenute dalle prime tramite delle trasformazioni lineari. Il metodo da' ottimi risultati proprio quando la struttura dei dati e' di tipo lineare. In termini geometrici esso, centrando i dati, effettua una traslazione degli assi originali nel baricentro dello spazio e una rotazione 15 degli stessi secondo la direzione di massima dispersione (Fig. 8.4). Fig. 8.4 Illustrazione grafica dell’analisi delle componenti principali dei dati di Tab. 8.1. I nuovi assi di ordinamento dei punti-rilievi hanno origine nel punto con coordinate corrispondenti ai centroidi delle due specie e sono ruotati lungo la direzione di maggior dispersione. Secondo la tecnica di Orloci (1978), l'analisi delle componenti principali estrae da una matrice X(mxn) di m righe/variabili e n colonne/oggetti sia le coordinate per l'ordinamento delle variabili che le coordinate per l'ordinamento degli oggetti. Il metodo consiste nel trovare una serie di variabili trasformate Y i della matrice X, dette ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 15 La rotazione nella direzione di massima dispersione viene realizzata completamente solo se i dati sono centrati. Per questo motivo le componenti principali basate su dati non centrati non sono considerate utili nell’analisi di gradienti, anche se rimangono uno strumento valido per analizzare la struttura dei dati e risolvere problemi di classificazione. 8-105
appunto componenti principali, tali che spieghino quanta piu' parte possibile della varianza delle variabili originali e siano tra loro ortogonali. Esse soddisfano il seguente modello lineare: Y i ' = B X i per i=1,m (8.7) in cui ogni singolo elemento y ij della nuova variabile Y i relativo all’oggetto j e’ esplicitato nella formula seguente: ij m y = ∑ b x = b x + b x + ... + b x hi hj 1i 1 j 2i 2 j mi mj (8.8) h= 1 Da questo modello si puo’ vedere come ogni valore osservato x hj subisce una trasformazione lineare in y ij . In esso i valori da b 1i a b mi sono i coefficienti che mettono in relazione le variabili originali con le componenti; essi possono essere pensati come i pesi relativi a ciascuna variabile originale da x 1j a x mj sulla componente i-esima. Le componenti principali si determinano dopo l'individuazione dei vettori B i dei coefficienti che permettono la trasformazione (8.7). Per eseguire una PCA, Orloci (1978) distingue 3 algoritmi secondo le modalita’ R, Q e D, le cui procedure di calcolo, descritte di seguito, sono illustrate in Fig. 8.5. In realta’, di questi, solo l’algoritmo R calcola le coordinate delle variabili (autovettori) e, tramite queste, quelle degli oggetti (componenti principali), mentre gli altri due algoritmi si limitano a trovare direttamente le componenti principali evitando il calcolo delle coordinate delle variabili. La scelta dell'algoritmo da utilizzare in una PCA per ottenere le coordinate dei rilievi dipende dalle dimensioni della matrice dei dati. Infatti, l'algoritmo R, poiche' calcola le coordinate degli oggetti dalla matrice di correlazione o di varianza-covarianza tra le specie, e' solitamente utilizzato quando gli oggetti sono piu' numerosi delle variabili per risparmiare tempo e memoria nell'elaborazione. Viceversa, se le variabili sono in numero di molto superiore agli oggetti, risultano essere piu' convenienti gli algoritmi Q e D. Ci preme ancora aggiungere che e’ un errore applicare l’algoritmo R scambiando gli oggetti con le variabili, cioe’ calcolare la matrice di correlazione o di varianza-covarianza sugli oggetti e derivare dai suoi autovettori le coordinate delle variabili. Con questa procedura i risultati non coincidono con quelli della procedura corretta descritta dettagliatamente nel paragrafo successivo. Infatti, il primo asse estratto non corrisponde all’asse di massima variazione e cio’ comporta una perdita di efficienza nell’ordinamento. Pertanto, per evitare errori, prima di elaborare i dati con un software statistico e’ importante capire come il software organizza i dati, cioe’ la giusta collocazione delle variabili e degli oggetti nelle righe o nelle colonne della matrice di input. 8-106
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Enrico Feoli, Paola Ganis INTRODUZI
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5.1 TRASFORMAZIONE DELLE VARIABILI.
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1 . I N T R O D U Z I O N E Che cos
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la teoria della gravitazione univer
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molteplicita’ dell’ecosistema,
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giusto. Se nella stanza dei figli i
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disordine ha valori tutti uguali in
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3.2 TIPI DI VARIABILI Come indica i
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numeri 1,2,3,4,5 attribuendo agli s
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volte, possono essere espressi sott
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schema di campionamento che puo’
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che rappresenta l'ampiezza uguale p
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Il poligono di frequenza e' un graf
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Mediana = 120 +10 [50/2-(4+6+8)]/10
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La varianza e’ una statistica imp
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colpo d’occhio quale delle altre
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all'asse X, mentre la deviazione st
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l'ipotesi nulla (H 0 ). Il piu' del
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test di significativita’ si chiam
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t = | µ N 1 + N σ N N 1 − µ 2
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varianza tra i gruppi (V inter ) ca
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DV intraB DV intraC 96.6 = 1350.12
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∑( x − x)( y − y) r = (4.31)
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Leggendo nella tavola di Appendice
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completamente chiarita dall’equaz
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Sostituendo i valori dei coefficien
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Bibliografia Magurran, A. E. 1988.
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