Enrico Feoli, Paola Ganis - UniversitÃ degli Studi di Trieste

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∑( x − x)( y − y) r = (4.31) 2 2 ∑( x − x) ∑( y − y) Esso si puo' descrivere come il rapporto tra la codevianza delle due variabili e la radice quadrata del prodotto delle rispettive devianze oppure come rapporto tra la covarianza e il prodotto delle deviazioni standard. Per abbreviare i calcoli evitando di calcolare le medie, l'equazione puo' essere scritta anche nella seguente formula equivalente: N ∑ xy − ∑ x ∑ y r = (4.32) 2 2 2 2 [ N ∑ x − ( ∑ x) ] × [ N ∑ y − ( ∑ y) ] La misura della correlazione non dipende da quale variabile si sceglie come dipendente o indipendente e, per questo, è un'ottima misura per valutare la relazione tra le variabili. E' inoltre una misura adimensionale e quindi indipendente dall'unita' di misura delle variabili considerate. 4.9.2 Significativita' del coefficiente di correlazione Il coefficiente di correlazione puo' essere usato semplicemente come una misura descrittiva del grado di correlazione di due variabili in un campione. Se il ricercatore e' interessato alla significativita' di una particolare correlazione, ha bisogno di conoscere quanto e' probabile che il coefficiente di correlazione del campione sia un'accurata stima del coefficiente di correlazione della popolazione da cui il campione e’ stato estratto. L'ipotesi nulla dice che i campioni sono stati estratti casualmente da una popolazione in cui i due caratteri sono indipendenti e distribuiti normalmente. Ogni apparente correlazione nei dati e' dovuta alle fluttuazioni del campionamento. L'ipotesi alternativa dice che c'e' una correlazione tra le due variabili nella popolazione, cioe' che il coefficiente di correlazione nella popolazione non e' zero. L'ipotesi alternativa puo' prendere una delle due forme. Se si e' interessati solo a verificare l'esistenza della correlazione senza specificare il segno della correlazione, il test e' bidirezionale, cioe' a due code; se invece l'ipotesi alternativa specifica anche la direzione della correlazione, cioe' se e' positiva o negativa, il test usato e' ad una coda. Ad esempio, un coefficiente r = 0.83 tra due caratteri di un campione di 12 unita' indica una forte correlazione positiva. Si tratta di valutare qual’e’ la probabilita’ che il campione provenga da una popolazione in cui il coefficiente r sia 0 (ipotesi nulla). Tenendo presente le dimensioni del campione e basandosi sull'assunzione che entrambe le variabili sono distribuite normalmente, e' 4-47
possibile calcolare la distribuzione campionaria di r sotto l'ipotesi nulla. I gradi di liberta' per questo test corrispondono al numero di coppie di osservazioni diminuito di due unita' (g.l. = N - 2). Dalla tabella di Appendice C vediamo che, per un test a due code, il valore critico di r al livello di significativita' 0.05 in corrispondenza di 10 gradi di liberta' e' 0.576. Questo significa che quando il coefficiente r della popolazione e' zero, la probabilita' che un campione casuale di 12 individui abbia un coefficiente r uguale o in valore assoluto piu' grande di 0.576 e' del 5%. Il valore 0.83 da noi riscontrato nel campione, essendo piu’ grande di 0.576, ci permette di rifiutare l'ipotesi nulla a favore dell'ipotesi alternativa. 4.9.3 Esempio di calcolo In 10 unita’ territoriali di rilevamento poste a differente quota altitudinale sono state rilevate le temperature medie annue. Si vuole indagare se esiste una correlazione significativa tra l’altitudine espressa in metri sul livello del mare e la temperatura media annuale espressa in gradi centigradi. I dati rilevati, le medie ed alcuni risultati intermedi per il calcolo del coefficiente di correlazione sono riportati in Tab. 4.9. Tab. 4.9 Valori di altitudine (x) e di temperatura media annuale (y) rilevati in 10 stazioni di rilevamento e risultati intermedi per il calcolo del loro coefficiente di correlazione. Altitudine T (°C) x y x − x y − y ( x − x)( y − y) 2 ( x − x) 2 ( y − y) 1 779 13.3 358 -1.4 -501.2 128164 1.96 2 647 13.2 226 -1.5 -339 51076 2.25 3 434 15.1 13 0.4 5.2 169 0.16 4 703 13.7 282 -1 -282 79524 1 5 560 14 139 -0.7 -97.3 19321 0.49 6 263 15.9 -158 1.2 -189.6 24964 1.44 7 350 15.4 -71 0.7 -49.7 5041 0.49 8 98 16.7 -323 2 -646 104329 4 9 216 13.3 -205 -1.4 287 42025 1.96 10 160 16.4 -261 1.7 -443.7 68121 2.89 x y ∑ ( x − x)( y − y) ∑ ( x − x) 2 ∑ ( y − y) 2 421 14.7 -2256.3 522734 16.64 Utilizzando i risultati intermedi, il coefficiente di correlazione e’ dato da: r = − 2256.3 522734× 16.64 = −0.765 4-48
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dimensioni consente di ordinare i r
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( S − λ I ) B = 0 (8.2) i p i I
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Per trovare il primo autovettore B
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8.2.1 Algoritmo R L'algoritmo R est
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La seconda modalita’ per scalare
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E’ interessante fare notare che i
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8.3 ANALISI DELLE CORRISPONDENZE L'
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C k 2 100 ⋅ RkT = (8.25) 2 χ Il
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di specie secondo la eq. (8.22) e r
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9 . N I C C H I E E C O L O G I C H
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Cio’ significa, per esempio, che
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d r( A, B) = d ( A, B) d A d( + d 2
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H ln S max = (10.5) L'entropia mass
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Bibliografia Magurran, A. E. 1988.
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