Enrico Feoli, Paola Ganis - Università degli Studi di Trieste

S − λI
5.3−
λ
=
1.7
1.7
1.3−
λ
2
=
0
Il determinante di una matrice quadrata di ordine 2 e' dato dalla differenza dei prodotti
incrociati degli elementi; chiamato s ij l'elemento generico della matrice, il determinante e' uguale a
s 11 s 22 - s 12 s 21 .
Nel nostro caso l'equazione diventa:
( 5.3 − λ ) × (1.3 − λ)
−1.7
× 1.7 = 0
da cui moltiplicando e ordinando rispetto a λ, si ottiene la seguente equazione di secondo
grado:
2
λ − 6.6λ + 4 = 0
e, risolvendo con la formula ridotta, troviamo le seguenti due soluzioni di autovalori λ i :
2
2
3.3 − 4
3.3 − 4
λ
1
= 3.3 + = 5.925
λ
2
= 3.3 − = 0. 675
1
1
Notiamo che la somma dei due autovalori trovati e' uguale alla somma degli elementi sulla
diagonale (traccia) della matrice S, cioe' alla somma delle varianze delle specie:
∑λ
= λ + λ = 5.925 + 0.675 = 6.6
∑ = s
s ii
i
1
11
2
+ s
22
= 5.3+
1.3 = 6.6
Per calcolare la percentuale di varianza espressa da ciascun autovalore rispetto alla varianza
totale e' sufficiente dividere ciascun autovalore per la traccia e moltiplicare per 100 secondo la
formula (8.6):
λ % 1
= (5.925 / 6.6) x 100 = 89.77
λ % = (0.675 / 6.6) x 100 = 10.23
2
In questo esempio i due autovalori estratti spiegano tutta la varianza della matrice 14
quanto costituiscono tutti gli autovalori che e’ possibile estrarre dalla matrice stessa.
A questo punto procediamo nel calcolo degli autovettori sostituendo in due passi distinti il
valore dei due autovalori appena trovati nel sistema di equazioni (8.3).
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
14 Quando l'ordine della matrice S e' piu' elevato, solitamente i primi due o tre autovalori riassumono
solo in parte la varianza della matrice essendo spiegata in misura minore anche dai successivi autovalori.
Quanto piu’ numerose sono le correlazioni tra le variabili nella matrice originale dei dati, tanto piu’ la
varianza della matrice si concentra nei primi autovalori.
8-102
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