Enrico Feoli, Paola Ganis - Università degli Studi di Trieste

k
2
2 (| fok
− fak
| −0.5)
χ = ∑
(4.40)
fa
i=
1
k
4.11.2 Test chi-quadrato per due campioni indipendenti
Quando si vuole ottenere la distribuzione congiunta di due caratteri categoriali 3 osservati
sullo stesso insieme di dati, e' necessario tabulare i dati tramite una tabella a doppia entrata o
tabella di contingenza (Tab. 4.11). In essa le righe e le colonne rappresentano le categorie discrete
(classi) per ciascuna delle due variabili e i valori esprimono la frequenza con cui i due caratteri,
nelle loro specifiche classi, ricorrono contemporaneamente nel campione.
Tab. 4.11 Schema di tabella di contingenza. Sulle righe sono disposte
tre categorie della variabile a e sulle colonne due categorie della variabile
b. Il valore generico f ij indica la frequenza delle osservazioni che
assumono contemporaneamente lo stato i-esimo di a e lo stato j-esimo
di b. A lato e in basso sono indicati i totali marginali di riga (n a. ) e di
colonna (n b. ). N rappresenta il totale generale, cioe’ il numero
complessivo di osservazioni.
b 1 b 2
a 1 f 11 f 12 n a1
a 2 f 21 f 22 n a2
a 3 f 31 f 32 n a3
n b1 n b2 N
Il test del chi-quadrato (χ 2 ) applicato ad una tabella di contingenza verifica se c'e' una
relazione significativa tra la distribuzione in classi di un carattere e quella dell'altro carattere.
L'ipotesi nulla dice che i caratteri sono indipendenti l'uno dall'altro, cioe' che la distribuzione
di un carattere non e' influenzata dai valori assunti dall'altro carattere. In questo caso i valori di
frequenza all’interno della tabella si distribuiscono in maniera uniforme. Se questa ipotesi non e'
vera, i valori all'interno della tabella tendono invece a distribuirsi in maniera eterogenea
evidenziando relazioni tra gli stati delle due variabili. La statistica del chi-quadrato da' quindi
indicazione sia sulla relazione tra i caratteri che sull’omogeneita' della tabella 4 perche’ il grado di
eterogeneita’ della tabella riflette il grado di relazione tra i caratteri.
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3 Per dati categoriali si intendono i dati organizzati in categorie discrete cioe’ tutti i dati misurati su
scala nominale ma anche quelli derivati dalla discretizzazione di variabili continue (es. classi di lunghezza,
classi di peso).
4 Nel paragrafo 2.4 abbiamo gia’ visto che la mutua informazione [eq. (2.2)] e’ una misura utile per
valutare l’omogenita’ di una tabella. La mutua informazione moltiplicata per il doppio del totale generale
della tabella approssima il chi-quadrato: χ 2 = 2N H (r,c) .
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