Enrico Feoli, Paola Ganis - UniversitÃ degli Studi di Trieste

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Come gia’ osservato nel paragrafo 8.1, sebbene matematicamente si possano estrarre m autovettori e, conseguentemente, m componenti principali, non tutti sono utili per riassumere la variazione dei dati. L’ammontare di variazione spiegata da ciascun autovettore e’ indicato dal corrispondente autovalore λ i , percio’ gli autovalori negativi o nulli non sono presi in considerazione. La proporzione di varianza spiegata da un autovettore e’ uguale al suo autovalore diviso per la somma di tutti gli autovalori. Anche le varianze delle componenti Y i sono proporzionali ai corrispondenti autovalori λ 1 ; per questo motivo la varianza della prima componente costituisce la percentuale piu' elevata della varianza totale delle m variabili. 16 Tra i metodi proposti per trovare il numero di dimensioni ‘significative’, cioe’ quelle che sintetizzano lo spazio originario senza eccessiva perdita di informazione, menzioniamo quello che prevede di considerare tutti gli autovettori con autovalore maggiore della media degli autovalori, cioe’ maggiore di 1 se si sta analizzando una matrice di correlazione o maggiore della varianza media se si sta analizzando una matrice di covarianza. L’efficienza del metodo di estrazione viene valutata sulla base della percentuale di varianza spiegata [eq. (8.6)] cumulata sui primi assi considerati. Nella pratica delle applicazioni ecologiche, la maggior parte della varianza e’ spiegata dai primi due o tre autovettori ai quali corrispondono gli autovalori piu’ elevati. In questa maniera si attua la riduzione dello spazio multidimensionale che risulta tanto piu’ consistente quanto piu’ numerose sono le correlazioni tra le variabili originali. In questo senso la PCA puo’ essere vista come una tecnica di riduzione del numero di variabili osservate essendo queste sostituite da nuove variabili delle quali solo un numero ristretto descrive la maggior parte della variazione dell’intero set di dati. Il coefficiente di correlazione r hi tra la variabile originale h-esima e la componente i-esima e' ottenibile direttamente tramite la seguente formula: r hi λ b i hi = (8.13) s hh dove b hi e’ il coefficiente della componente principale i-esima relativo alla variabile h-esima (cioe’ il valore h-esimo dell’autovettore B i ), λ i e’ l’i-esimo autovalore e s hh e’ il valore di prodotto scalare, varianza o correlazione nella diagonale della matrice S relativa alla specie h-esima. Se la matrice S e' una matrice di correlazione (R), s hh e’ uguale a 1 e la formula (8.13) si semplifica in: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 16 Le varianze delle singole componenti diventano uguali ai corrispondenti autovalori se nella eq. (8.7) la matrice X viene standardizzata secondo la (5.4). In questo caso pero' le componenti non sono piu' normalizzate alla radice dell'autovalore. 8-109
hi = λ b (8.14) i hi In questo caso trovare le correlazioni tra le variabili originali e le componenti principali equivale a normalizzare gli autovettori della matrice di correlazione a √λ. Ne consegue che i valori b hi degli autovettori cosi’ normalizzati, tutti rientranti nell’intervallo [-1,1], sono interpretabili direttamente come coefficienti di correlazione tra la variabile h-esima e la componente principale i- esima. 8.2.1.1 Rappresentazione grafica delle variabili, degli oggetti, del biplot e relativa interpretazione L'algoritmo R ha il grande vantaggio di ricavare gli assi di ordinamento degli oggetti, cioe' le componenti principali, utilizzando gli assi delle variabili. Tramite esso e’ quindi possibile rappresentare in uno spazio ridotto sia i punti–variabile che i punti-oggetto. Essi possono essere rappresentati sia in diagrammi separati che nello stesso diagramma realizzando quell’ordinamento che prende il nome di biplot il cui prefisso bi- indica proprio le due dimensioni della tabella dei dati (non dello spazio) i cui elementi sono righe e colonne, variabili e oggetti, specie e rilievi. Diagramma delle variabili. Il diagramma a due dimensioni x,y per le variabili viene costruito assumendo come asse x il primo autovettore (B 1 ) e come asse y il secondo autovettore (B 2 ). Gli assi sono centrati e quindi si incrociano all’origine, cioe’ nel punto di coordinate [0,0] che corrisponde al centroide dei dati originali. Le m variabili trovano collocazione nel piano determinato dagli assi in rapporto al valore assunto in ciascuno di essi. Solitamente esse sono rappresentate con i vettori che congiungono l’origine del sistema di coordinate con i punti-variabile. La rappresentazione puo’ cambiare a seconda della trasformazione dei dati adottata e della funzione utilizzata per il calcolo della matrice simmetrica tra le variabili; inoltre essa cambia anche in rapporto alla scelta fatta per normalizzare gli autovettori soprattutto quando gli autovalori corrispondenti agli assi scelti per la rappresentazione sono molto differenti tra loro. Normalizzando all’unita’ gli autovettori, sia gli autovettori che i vettori-variabile risultano, nello spazio multidimensionale, tutti ortogonali tra loro e di lunghezza unitaria; normalizzando invece gli autovettori a √λ, le lunghezze dei vettori-variabile diventano proporzionali alle deviazioni standard delle variabili e il loro prodotto, che dipende dall’angolo che li separa nello spazio multidimensionale, e’ proporzionale alla loro covarianza e approssima il coefficiente di correlazione. Pertanto scalare gli autovettori a √λ e’ utile per interpretare meglio le relazioni tra le variabili: i vettori delle variabili che puntano nella stessa direzione indicano che le variabili sono correlate positivamente tra loro, quelli che puntano in direzione opposta indicano correlazioni negative e 8-110
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Enrico Feoli, Paola Ganis INTRODUZI
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5.1 TRASFORMAZIONE DELLE VARIABILI.
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1 . I N T R O D U Z I O N E Che cos
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la teoria della gravitazione univer
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molteplicita’ dell’ecosistema,
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giusto. Se nella stanza dei figli i
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disordine ha valori tutti uguali in
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3.2 TIPI DI VARIABILI Come indica i
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numeri 1,2,3,4,5 attribuendo agli s
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volte, possono essere espressi sott
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schema di campionamento che puo’
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che rappresenta l'ampiezza uguale p
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Il poligono di frequenza e' un graf
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Mediana = 120 +10 [50/2-(4+6+8)]/10
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La varianza e’ una statistica imp
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colpo d’occhio quale delle altre
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frequenze relative quando il numero
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all'asse X, mentre la deviazione st
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l'ipotesi nulla (H 0 ). Il piu' del
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test di significativita’ si chiam
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t = | µ N 1 + N σ N N 1 − µ 2
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varianza tra i gruppi (V inter ) ca
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DV intraB DV intraC 96.6 = 1350.12
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∑( x − x)( y − y) r = (4.31)
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Leggendo nella tavola di Appendice
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completamente chiarita dall’equaz
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Sostituendo i valori dei coefficien
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k 2 2 (| fok − fak | −0.5) χ =
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Quanto piu’ i valori osservati si
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Bibliografia Magurran, A. E. 1988.
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