Enrico Feoli, Paola Ganis - Università degli Studi di Trieste

equazione (7.5) e’ derivata dal confronto tra le due espressioni alternative (7.3) e (7.4) del prodotto
scalare. In essa il prodotto scalare è rapportato al prodotto delle norme dei vettori a confronto.
cos
m
∑ x
x
ia ib
i=
1
α =
(7.5)
m m
2 2
∑ x ia ∑ x ib
i=
1 i=
1
Il coseno dell’angolo e’ un indice di somiglianza che varia tra 0 ed 1 se le variabili non sono
centrate e tra –1 e +1 se le variabili sono state centrate con la formula (5.2). Se il prodotto scalare
e’ applicato a vettori gia’ normalizzati si ottiene direttamente il coseno dell’angolo. Il fatto che nel
coseno dell’angolo sia insita la normalizzazione dei vettori a confronto che li rende della stessa
lunghezza (unitaria) fa si’ che, nello spazio multidimensionale, elementi situati sulla stessa
direttrice passante per l’origine sono considerati dall’indice uguali anche se diversi. Come si vede
dalla Fig. 7.4 che rappresenta graficamente questa situazione, la somiglianza tra i punti che, per
effetto della normalizzazione sono proiettati tutti sull’ipersfera, e’ valutata solo sulla base
dell’angolo che separa i due vettori. Da un punto di vista applicativo cio’ significa che l’indice
coseno dell’angolo non tiene conto delle differenze di grandezza dei valori nei vettori, ma solo
delle differenze dei rapporti tra valori.
Y
b
c
a
α
X
Fig. 7.4 I punti a e b, essendo situati sulla stessa retta passante per l’origine, diventano
coincidenti dopo la normalizzazione. Il coseno dell’angolo pertanto assegna ad essi il valore
massimo di somiglianza (1) ed attribuisce un valore di somiglianza inferiore tra i punti b e c
anche se nello spazio originario la distanza tra questi ultimi e’ inferiore a quella tra a e b.
Il prodotto scalare puo’ essere relativizzato anche rapportandolo alla somma dei quadrati piu’
elevata tra i due vettori come indicato nella formula seguente:
S
PS ( a,
b)
m
∑ x
i=
1
m
max( ∑ x
i=
1
ia
x
2
ia
ib
= (7.6)
m
, ∑ x
i=
1
2
ib
)
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