Enrico Feoli, Paola Ganis - Università degli Studi di Trieste

appunto componenti principali, tali che spieghino quanta piu' parte possibile della varianza delle
variabili originali e siano tra loro ortogonali. Esse soddisfano il seguente modello lineare:
Y
i
'
= B X
i
per i=1,m (8.7)
in cui ogni singolo elemento y ij della nuova variabile Y i relativo all’oggetto j e’ esplicitato
nella formula seguente:
ij
m
y = ∑ b x = b x + b x + ... + b
x
hi hj 1i
1 j 2i
2 j
mi mj
(8.8)
h=
1
Da questo modello si puo’ vedere come ogni valore osservato x hj subisce una trasformazione
lineare in y ij . In esso i valori da b 1i a b mi sono i coefficienti che mettono in relazione le variabili
originali con le componenti; essi possono essere pensati come i pesi relativi a ciascuna variabile
originale da x 1j a x mj sulla componente i-esima.
Le componenti principali si determinano dopo l'individuazione dei vettori B i dei coefficienti
che permettono la trasformazione (8.7). Per eseguire una PCA, Orloci (1978) distingue 3 algoritmi
secondo le modalita’ R, Q e D, le cui procedure di calcolo, descritte di seguito, sono illustrate in Fig.
8.5. In realta’, di questi, solo l’algoritmo R calcola le coordinate delle variabili (autovettori) e,
tramite queste, quelle degli oggetti (componenti principali), mentre gli altri due algoritmi si
limitano a trovare direttamente le componenti principali evitando il calcolo delle coordinate delle
variabili. La scelta dell'algoritmo da utilizzare in una PCA per ottenere le coordinate dei rilievi
dipende dalle dimensioni della matrice dei dati. Infatti, l'algoritmo R, poiche' calcola le coordinate
degli oggetti dalla matrice di correlazione o di varianza-covarianza tra le specie, e' solitamente
utilizzato quando gli oggetti sono piu' numerosi delle variabili per risparmiare tempo e memoria
nell'elaborazione. Viceversa, se le variabili sono in numero di molto superiore agli oggetti, risultano
essere piu' convenienti gli algoritmi Q e D.
Ci preme ancora aggiungere che e’ un errore applicare l’algoritmo R scambiando gli oggetti
con le variabili, cioe’ calcolare la matrice di correlazione o di varianza-covarianza sugli oggetti e
derivare dai suoi autovettori le coordinate delle variabili. Con questa procedura i risultati non
coincidono con quelli della procedura corretta descritta dettagliatamente nel paragrafo successivo.
Infatti, il primo asse estratto non corrisponde all’asse di massima variazione e cio’ comporta una
perdita di efficienza nell’ordinamento. Pertanto, per evitare errori, prima di elaborare i dati con un
software statistico e’ importante capire come il software organizza i dati, cioe’ la giusta
collocazione delle variabili e degli oggetti nelle righe o nelle colonne della matrice di input.
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