Enrico Feoli, Paola Ganis - UniversitÃ degli Studi di Trieste

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La seconda modalita’ per scalare correttamente le coordinate prevede la normalizzazione degli autovettori alla radice dell’autovalore corrispondente e la normalizzazione delle componenti principali all’unita’. Essa genera il biplot della covarianza cosi’ chiamato perche’, come abbiamo gia’ descritto sopra, l’angolo tra gli autovettori normalizzati a √λ e’ proporzionale alla loro covarianza. Si puo’ passare dall’una all’altra modalità semplicemente dividendo o moltiplicando per √λ di volta in volta gli autovettori o le componenti principali. Nella pratica, poiche’ i campi di variazione dei valori delle coordinate degli oggetti (componenti principali) e delle variabili (autovettori) sono spesso di differente ordine di grandezza, le coordinate delle variabili sono spesso moltiplicate per un’appropriata costante per permettere la sovrapposizione grafica dei due ordinamenti. ter Braak suggerisce di produrre separatamente i diagrammi in lucidi trasparenti, ciascuno nella propria scala, e di sovrapporli nel punto d’origine degli assi con l’unica accortezza di mantenere, in ciascuno dei diagrammi, la stessa lunghezza fisica dell’unita’ di scala sia per l’asse orizzontale che per quello verticale; solo cosi’ infatti non si alterano gli angoli tra i vettori. In questo caso un biplot puo’ avere graficamente differenti unita’ di scala per gli oggetti e le specie. Poiche’ lo scopo primario del biplot consiste nel facilitare l’interpretazione reciproca delle due configurazioni, concordiamo con Podani (2000) nel suggerire la possibilita’ di collocare sullo stesso grafico gli oggetti e le variabili utilizzando le loro coordinate normalizzate entrambe alla radice dell’autovalore corrispondente in maniera tale che, da una parte sia preservata la distanza euclidea tra gli oggetti, e dall’altra siano facilmente interpretabili le relazioni tra le variabili e tra le variabili e gli assi. E’ chiaro che, cosi’ facendo, viene meno la caratteristica originaria del biplot di essere strumento di ricostruzione della matrice. Anche nel diagramma congiunto si e’ soliti rappresentare gli oggetti con i punti e le variabili con i vettori. I vettori-variabile sono situati nella direzione di massima variazione dei valori delle variabili. Le caratteristiche dei punti-oggetto possono essere determinate proprio in rapporto alla loro posizione rispetto alla direzione dei vettori-variabili. Infatti la corretta interpretazione delle relazioni esistenti tra gli oggetti e le variabili si basa sulla proiezione dei punti-oggetto sui vettorivariabile o eventualmente sui loro prolungamenti. Un esempio di biplot viene illustrato in Fig. 8.7 in cui sono ordinati simultaneamente 20 tipologie di boschi del Friuli Venezia Giulia (F.V.G.) e 6 indici ecologici utilizzati per descriverle. Le variabili luce (L), humus (H), dispersione (D) e umidita’ del terreno (U) sono tutte correlate fortemente alla prima componente principale. Cio’ e’ dedotto graficamente dalla direzione dei loro vettori che e’ quasi parallela al primo asse ed e’ confermato dai valori elevati dei coefficienti di correlazione riportati in Tab. 8.4. Il primo asse puo’ quindi essere interpretato come un gradiente decrescente di luminosita’ e un gradiente crescente delle condizioni di umidita’ del suolo, di 8-113
dispersione del terreno e di quantita’ di humus. Le variabili temperatura (T) e continentalita’ (C) sono invece piu’ correlate al secondo asse, ma poiche’ i coefficienti di correlazione non sono cosi’ elevati come quelli riscontrati per il primo asse, i rispettivi vettori divergono dal secondo asse di un Tab. 8.4 Correlazioni tra gli indici ecologici delle tipologie forestali del F.V.G. e le prime due componenti principali. I valori in neretto evidenziano le correlazioni piu’ significative. I asse II asse U .979 .139 H .977 .070 G .934 -.173 L -.948 .107 T -.522 -.787 C -.409 .860 certo angolo. Essi inoltre sono tra loro quasi ortogonali e cio’ conferma che tra queste due variabili non c’e una correlazione significativa (r = -.364, g.l. = 18, α = 0.12). I gradienti di temperatura e di continentalita’ sono pertanto visualizzati lungo le direzioni di questi vettori e la posizione degli oggetti rispetto ad essi viene valutata dopo averli proiettati ortogonalmente sui vettori o sui loro prolungamenti. Rispetto alle direttrici di entrambi i gradienti si puo’ osservare che le proiezioni dei boschi mesofili simboleggiati con () si trovano in posizione centrale e quelle dei boschi umidi () in posizione opposta rispetto ai punti-variabili essendo essi anche i boschi di ambienti piu’ freddi e quelli in cui l’escursione termica giornaliera ed annuale e’ meno elevata e l’aria e’ piu’ umida. Infine i boschi rappresentati con i simboli () e (), le cui proiezioni si collocano all’estremita’ dei due gradienti in vicinanza dei punti-variabili, individuano rispettivamente i boschi piu’ termofili e quelli piu’ continentali. 8.2.2 Algoritmo Q Le componenti principali si possono ottenere anche con l'algoritmo Q che estrae autovalori ed autovettori dalla matrice di somiglianza Q(nxn) ottenuta calcolando il prodotto scalare tra i n oggetti/rilievi sui dati centrati per riga secondo una delle trasformazioni (5.2), (5.3), (5.4), (5.8). Gli autovalori e gli autovettori della matrice Q(nxn) sono estratti con lo stesso procedimento descritto nel paragrafo 8.1, ma a differenza di quanto operato con l’algoritmo R, gli autovettori B i sono poi normalizzati alla radice dell'autovalore corrispondente soddisfacendo la condizione seguente: 2 2 2 1 i 2i ... ni b + b + + b = λ (8.15) Gli autovettori normalizzati in questa maniera corrispondono perfettamente alle componenti principali trovate mediante l'algoritmo R (B i =Y i ). La condizione necessaria affinche' si verifichi questa uguaglianza e' che si sia utilizzata, in entrambi gli algoritmi, la stessa trasformazione della matrice originale dei dati. 8-114
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Enrico Feoli, Paola Ganis INTRODUZI
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5.1 TRASFORMAZIONE DELLE VARIABILI.
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1 . I N T R O D U Z I O N E Che cos
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la teoria della gravitazione univer
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molteplicita’ dell’ecosistema,
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giusto. Se nella stanza dei figli i
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disordine ha valori tutti uguali in
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3.2 TIPI DI VARIABILI Come indica i
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numeri 1,2,3,4,5 attribuendo agli s
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volte, possono essere espressi sott
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un’ulteriore forma conveniente e
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schema di campionamento che puo’
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che rappresenta l'ampiezza uguale p
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Il poligono di frequenza e' un graf
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Mediana = 120 +10 [50/2-(4+6+8)]/10
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appresentativo dell’insieme dei d
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La varianza e’ una statistica imp
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colpo d’occhio quale delle altre
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frequenze relative quando il numero
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all'asse X, mentre la deviazione st
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l'ipotesi nulla (H 0 ). Il piu' del
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test di significativita’ si chiam
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t = | µ N 1 + N σ N N 1 − µ 2
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varianza tra i gruppi (V inter ) ca
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DV intraB DV intraC 96.6 = 1350.12
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∑( x − x)( y − y) r = (4.31)
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Leggendo nella tavola di Appendice
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completamente chiarita dall’equaz
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Sostituendo i valori dei coefficien
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k 2 2 (| fok − fak | −0.5) χ =
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Quanto piu’ i valori osservati si
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calcolata col software specifico, d
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