Enrico Feoli, Paola Ganis - UniversitÃ degli Studi di Trieste

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Quanto piu’ i valori osservati si discostano da quelli attesi, tanto piu’ grande diventa il valore di χ 2 . Un valore grande del test indica, quindi, che la situazione osservata e’ differente da quella che ci si attenderebbe sotto l’ipotesi nulla di indipendenza tra le due variabili confrontate e, pertanto, suggerisce una certa relazione e dipendenza tra le variabili. Per rifiutare l’ipotesi nulla e’ comunque necessario confrontare il valore del test calcolato con i valori critici per la distribuzione campionaria della statistica χ 2 leggibili nelle apposite tabelle. Se il valore osservato e’ uguale o supera il valore critico ad un certo livello di significativita’ scelto, si puo’ respingere l’ipotesi nulla ed affermare che c’e’ una relazione tra i due caratteri messi a confronto. Il numero di gradi liberta' associato a questo test e' dato dal prodotto del numero di righe per il numero di colonne sottratte ciascuna di una unita’ [g.l. = (r - 1)(c - 1)]. Come si puo’ dedurre dalla formula, il valore del χ 2 dipende dal numero totale N delle osservazioni e dalle dimensioni della tabella di contingenza. Per confrontare valori di χ 2 calcolati su tabelle di contingenza di differenti dimensioni e con differente totale generale sono stati studiati degli indici che rendono relativo il valore del χ 2 . Tra quelli piu’ utilizzati torna molto utile l’indice di Cramer che esprime il grado di dipendenza o relazione tra i due caratteri messi a confronto in una tabella di contingenza r x c e, per questo, puo’ essere considerato un indice di correlazione. Esso viene derivato dal χ 2 secondo la formula sottostante: r = 2 χ N min( r −1, c −1) (4.44) in cui min( r −1, c −1) indica il valore minimo tra le righe e le colonne sottratte di 1. Per quanto esprimi una correlazione, l’indice di Cramer, derivando dal valore del chiquadrato, non assume mai valori negativi ma solo compresi tra 0 ed 1. Il valore 0 indica una totale indipendenza tra i caratteri visibile in un’alta omogeneita’ della tabella, all’opposto il valore 1 esprime una completa associazione tra le variabili evidenziata in un’alta eterogeneita’ della tabella. Il fatto che l’indice non assuma mai valori negativi ci dice che, attraverso esso, non sarebbe possibile valutare il tipo di correlazione, inversa o diretta, tra i caratteri categoriali derivanti dalla discretizzazione di variabili continue perché la semplice lettura del valore dell’indice non lo rivela; per queste e’ comunque consigliabile valutare direttamente il coefficiente di correlazione di Pearson sui dati non discretizzati. Poiche’ il problema non si pone per i caratteri qualitativi, per i quali non ha senso parlare di correlazione diretta e inversa, l’indice di Cramer e’ un’ottima stima della loro relazione. 4-57
4.11.3 Restrizioni del test chi-quadrato Affinche’ il test di significativita’ del χ 2 possa essere applicato correttamente devono essere soddisfatti i seguenti requisiti: - i dati sottoposti al test devono essere frequenze. Il test, infatti, falsa i risultati se si utilizzano proporzioni o percentuali. - le categorie considerate devono essere mutuamente esclusive, poiché un'osservazione non puo' essere contata in piu' di una categoria. - se il numero di categorie e' maggiore di due, il test non e' valido se piu' del 20% delle frequenze attese e' minore di 5 o se solo una frequenza attesa e' inferiore a 1. Nell'eventualita' che questo si verifichi, e' consigliabile combinare le categorie. - se le categorie sono due, tutte le frequenze attese dovrebbero essere maggiori di 5. 4.11.3.1 Esempi di calcolo a) Si vuole vedere se la presenza della zecca nel territorio carsico e’ legata all’ambiente o se e’ da esso indipendente. Nell’arco di uno stesso periodo sono stati catturati un uguale numero di micromammiferi nei quattro diversi ambienti di prato, dolina, boscaglia e pineta, e si sono contate le zecche che parassitavano gli animali. I risultati dell’indagine sono riportati in Tab. 4.13. Si vuole verificare se la distribuzione delle zecche nei quattro ambienti e' in accordo con l'ipotesi nulla secondo la quale tutte le zecche sono equamente distribuite nei quattro ambienti. Tab. 4.13 Numero di zecche infestanti lo stesso numero di micromammiferi in quattro diversi ambienti. Prato Dolina Boscaglia Pineta N N. zecche (fo) 20 25 18 21 84 Frequenze attese (fa) 21 21 21 21 84 Applicando la formula del chi-quadrato per un campione [eq. (4.39)] si ottiene: 2 (20 − 21) χ = 21 2 (25 − 21) + 21 2 (18 − 21) + 21 2 (21− 21) + 21 2 1+ 16 + 9 + 0 26 = = = 1.2381 21 21 Consultando la tabella dei valori critici per il chi-quadrato in Appendice D troviamo che il valore critico in corrispondenza di 3 gradi di liberta’ (g.l. = 4 ambienti -1) al livello di significativita’ 0.05 e’ 7.82. Essendo il valor calcolato molto piu’ piccolo del valore critico possiamo accettare l’ipotesi nulla di totale indipendenza della presenza di zecche dall’ambiente. Infatti la probabilita’, 4-58
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8.3 ANALISI DELLE CORRISPONDENZE L'
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9 . N I C C H I E E C O L O G I C H
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Bibliografia Magurran, A. E. 1988.
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