Enrico Feoli, Paola Ganis - UniversitÃ degli Studi di Trieste

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completamente chiarita dall’equazione stessa. Nel caso non ci sia una perfetta corrispondenza, la relazione tra le due variabili non e' completamente spiegata. Le differenze tra i valori osservati della variabile dipendente y e quelli attesi y a giacenti tutti sulla retta di regressione costituiscono i residui della regressione. Quanto piu' piccoli in valore assoluto sono i residui, tanto piu' la retta trovata e' rappresentativa della relazione esistente tra le due variabili. Un metodo standard per saggiare la bonta' di adattamento della regressione e' di valutare quanto la regressione tiene conto della variazione dei valori osservati della variabile dipendente. Per ottenere questo si utilizza il coefficiente di determinazione r 2 che e' dato dal rapporto tra la varianza dei valori attesi (varianza della regressione) e quella dei valori osservati (varianza totale) e che rappresenta il quadrato del noto coefficiente di correlazione. Quanto piu' questo rapporto si avvicina a 1, tanto piu' i punti si trovano in prossimita' della retta e la relazione tra le due variabili e' chiaramente spiegata. r 2 2 ∑( ya − y) = (4.37) 2 ∑( y − y) Tramite il metodo dei minimi quadrati e’ quindi possibile individuare quanto della varianza di Y e’ spiegata da X. Ad esempio se il coefficiente di determinazione tra X e Y e' 0.58 si potra' dire che il 58% della varianza di Y e' spiegata dalla varianza di X. La variabilita' non spiegata dalla regressione viene chiamata variabilita' residua. La relazione che intercorre tra le variabilita' totale, spiegata e residua e' espressa dalla seguente formula: 2 2 2 ∑ ( y − y) = ∑( ya − y) + ∑( y − ya ) (4.38) cioe' la variabilita' totale (devianza dei valori osservati) e' uguale alla somma della variabilita' spiegata dalla regressione (devianza dei valori attesi) e della variabilita' non spiegata, cioe' quella residua calcolata sulle differenze dei valori osservati con quelli attesi. Le due serie di dati dei valori osservati e di quelli attesi possono essere confrontate anche con l'analisi della varianza (vedi paragrafo 4.8.2). In questo caso il test F e’ dato dal rapporto tra la varianza dei valori attesi (varianza della regressione) e la varianza dei residui (varianza dell'errore). Quando non e’ intuibile il tipo di dipendenza tra due variabili, si possono assumere indifferentemente l’una come variabile dipendente e l’altra come indipendente. Le due possibili rette di regressione, che si possono calcolare su di un diagramma a dispersione, considerando 4-51
alternativamente una variabile in funzione dell'altra [x=f(y), y=f(x)], sono coincidenti solo se la correlazione r tra le due variabili e' ± 1. In tal caso le due rette sono identiche e tra le due variabili esiste una correlazione lineare positiva o negativa perfetta. Il coefficiente r misura la divergenza delle due rette di regressione e costituisce il coseno dell'angolo tra le due rette. Se le due rette formano tra loro un angolo di 0 o 180 gradi, le rette coincidono e il coseno, che esprime la correlazione, assume valore +1 o -1 a seconda che si tratti di una correlazione positiva o negativa Se le due rette sono perpendicolari tra loro, cioe’ formano un angolo di 90 gradi, il coseno corrispondente e' 0, e questo da' direttamente la misura della correlazione tra le due variabili che e' nulla. 4.10.1 Esempio di calcolo Calcoliamo la retta di regressione della variabile dipendente temperatura (T) sulla variabile indipendente altitudine (A) per le quali avevamo gia’ calcolato il coefficiente di correlazione nell’esempio del paragrafo 4.9.3. Tab. 4.10 Valori dei risultati intermedi per il calcolo dei coefficienti delle retta di regressione della temperatura (T) in rapporto all’altitudine (A). A T (°C) x y xy x 2 y a y − y 2 ( y − y) y a − y 2 ( y a − y) y − ya 2 ( y − y ) a 1 779 13.3 10360.7 606841 13.16 -1.4 1.96 -1.54 2.38 0.14 0.020 2 647 13.2 8540.4 418609 13.73 -1.5 2.25 -0.97 0.95 -0.53 0.278 3 434 15.1 6553.4 188356 14.65 0.4 0.16 -0.05 0.00 0.45 0.205 4 703 13.7 9631.1 494209 13.49 -1.0 1.00 -1.21 1.47 0.21 0.046 5 560 14.0 7840.0 313600 14.10 -0.7 0.49 -0.60 0.36 -0.10 0.011 6 263 15.9 4181.7 69169 15.38 1.2 1.44 0.68 0.47 0.52 0.265 7 350 15.4 5390.0 122500 15.01 0.7 0.49 0.31 0.10 0.39 0.153 8 98 16.7 1636.6 9604 16.10 2.0 4.00 1.40 1.95 0.60 0.364 9 216 13.3 2872.8 46656 15.59 -1.4 1.96 0.89 0.79 -2.29 5.234 10 160 16.4 2624.0 25600 15.83 1.7 2.89 1.13 1.28 0.57 0.326 x y Σxy Σx 2 ∑ ( y − y) 2 ( y a − y) 2 2 ∑ ∑ ( y − y ) a 421 14.7 59630.7 2295144 16.64 9.74 6.90 Utilizzando i risultati intermedi riportati in Tab. 4.10 applichiamo le formule (4.35) e (4.36) per trovare i coefficienti a e b della retta: 59630.7 −10× 421× 14.7 59630.7 − 61887 a = = = − 2 2295144 −10× 421 2295144 −1772410 b = 14.7 − ( −0.00432 × 421) = 16.52 4-52 2256.2 522734 = −0.00432
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Enrico Feoli, Paola Ganis INTRODUZI
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5.1 TRASFORMAZIONE DELLE VARIABILI.
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simmetrica e’ di somiglianza, il
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Per trovare il primo autovettore B
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8.2.1 Algoritmo R L'algoritmo R est
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La seconda modalita’ per scalare
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E’ interessante fare notare che i
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8.3 ANALISI DELLE CORRISPONDENZE L'
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10.3 MODELLI DI DISTRIBUZIONE DI AB
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Appendice A Valori critici per il t
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Bibliografia Magurran, A. E. 1988.
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