Enrico Feoli, Paola Ganis - Università degli Studi di Trieste

La seconda modalita’ per scalare correttamente le coordinate prevede la normalizzazione
degli autovettori alla radice dell’autovalore corrispondente e la normalizzazione delle componenti
principali all’unita’. Essa genera il biplot della covarianza cosi’ chiamato perche’, come abbiamo gia’
descritto sopra, l’angolo tra gli autovettori normalizzati a √λ e’ proporzionale alla loro covarianza.
Si puo’ passare dall’una all’altra modalità semplicemente dividendo o moltiplicando per √λ di volta
in volta gli autovettori o le componenti principali.
Nella pratica, poiche’ i campi di variazione dei valori delle coordinate degli oggetti
(componenti principali) e delle variabili (autovettori) sono spesso di differente ordine di grandezza,
le coordinate delle variabili sono spesso moltiplicate per un’appropriata costante per permettere la
sovrapposizione grafica dei due ordinamenti. ter Braak suggerisce di produrre separatamente i
diagrammi in lucidi trasparenti, ciascuno nella propria scala, e di sovrapporli nel punto d’origine
degli assi con l’unica accortezza di mantenere, in ciascuno dei diagrammi, la stessa lunghezza
fisica dell’unita’ di scala sia per l’asse orizzontale che per quello verticale; solo cosi’ infatti non si
alterano gli angoli tra i vettori. In questo caso un biplot puo’ avere graficamente differenti unita’ di
scala per gli oggetti e le specie.
Poiche’ lo scopo primario del biplot consiste nel facilitare l’interpretazione reciproca delle due
configurazioni, concordiamo con Podani (2000) nel suggerire la possibilita’ di collocare sullo stesso
grafico gli oggetti e le variabili utilizzando le loro coordinate normalizzate entrambe alla radice
dell’autovalore corrispondente in maniera tale che, da una parte sia preservata la distanza euclidea
tra gli oggetti, e dall’altra siano facilmente interpretabili le relazioni tra le variabili e tra le variabili e
gli assi. E’ chiaro che, cosi’ facendo, viene meno la caratteristica originaria del biplot di essere
strumento di ricostruzione della matrice.
Anche nel diagramma congiunto si e’ soliti rappresentare gli oggetti con i punti e le variabili
con i vettori. I vettori-variabile sono situati nella direzione di massima variazione dei valori delle
variabili. Le caratteristiche dei punti-oggetto possono essere determinate proprio in rapporto alla
loro posizione rispetto alla direzione dei vettori-variabili. Infatti la corretta interpretazione delle
relazioni esistenti tra gli oggetti e le variabili si basa sulla proiezione dei punti-oggetto sui vettorivariabile
o eventualmente sui loro prolungamenti.
Un esempio di biplot viene illustrato in Fig. 8.7 in cui sono ordinati simultaneamente 20
tipologie di boschi del Friuli Venezia Giulia (F.V.G.) e 6 indici ecologici utilizzati per descriverle. Le
variabili luce (L), humus (H), dispersione (D) e umidita’ del terreno (U) sono tutte correlate
fortemente alla prima componente principale. Cio’ e’ dedotto graficamente dalla direzione dei loro
vettori che e’ quasi parallela al primo asse ed e’ confermato dai valori elevati dei coefficienti di
correlazione riportati in Tab. 8.4. Il primo asse puo’ quindi essere interpretato come un gradiente
decrescente di luminosita’ e un gradiente crescente delle condizioni di umidita’ del suolo, di
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