Enrico Feoli, Paola Ganis - Università degli Studi di Trieste

( S − λ I ) B = 0
(8.2)
i
p
i
I valori scalari λ i sono detti autovalori o radici latenti della matrice S, mentre il vettore B i
associato all'i-esimo autovalore e' detto autovettore o vettore latente. Esso rappresenta una
combinazione lineare dei vettori riga o colonna della matrice S. Il simbolo I p indica la matrice
identica che e' una matrice quadrata di ordine p con tutti i valori uguali a zero tranne quelli sulla
diagonale che sono uguali a 1.
Espressa in forma matriciale, l'equazione (8.2) costituisce un sistema omogeneo 10 di p
equazioni lineari a p incognite (b 1 , b 2 , ... , b p ) come mostrato nel prospetto seguente:
( S − λ i
I p)
B i 0
⎛ s11
− λi
⎜
⎜ s21
⎜ ...
⎜
⎝ s
p1
s
22
s
s
12
− λ
...
p2
i
...
...
...
...
s1
p ⎞
⎟
s2
p ⎟
... ⎟
⎟
s −
pp
λi
⎠
⎛ b1
⎞
⎜ ⎟
⎜ b2
⎟
⎜ ... ⎟
⎜ ⎟
⎝b p ⎠
=
⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟
⎜ 0 ⎟
⎜...
⎟
⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠
da cui:
(s 11 -λ )b ι 1 + s 12 b 2 + … + s 1p b p = 0
s 21 b 1 + (s 22 -λ )b ι 2 + … + s 2p b p = 0
… + … + … + … = 0
s p1 b 1 + s p2 b 2 + … +
(s pp -
λ )b ι p
= 0
(8.3)
Affinche' sia possibile determinare un vettore soluzione B i diverso da zero e' necessario che il
determinante della matrice ( S − λI
) sia uguale a 0 11 . Per conoscere, quindi, le soluzioni diverse da
0 del sistema di equazioni (8.3) troviamo i valori di λ per i quali il determinante si annulla
risolvendo la seguente equazione caratteristica:
S − λ I = 0
(8.4)
che puo’ essere espressa alternativamente nella forma matriciale seguente:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
10 Un sistema algebrico lineare si dice omogeneo se tutti i termini noti sono uguali a zero.
11 Infatti per il teorema di Cramer, se il determinante della matrice di un sistema e' diverso da zero,
allora il sistema ammette un’unica soluzione. Nel caso di sistemi omogenei, questa unica soluzione e' data
del vettore B di elementi tutti uguali a zero.
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