Enrico Feoli, Paola Ganis - Università degli Studi di Trieste

completamente chiarita dall’equazione stessa.
Nel caso non ci sia una perfetta corrispondenza, la relazione tra le due variabili non e'
completamente spiegata. Le differenze tra i valori osservati della variabile dipendente y e quelli
attesi y a giacenti tutti sulla retta di regressione costituiscono i residui della regressione. Quanto
piu' piccoli in valore assoluto sono i residui, tanto piu' la retta trovata e' rappresentativa della
relazione esistente tra le due variabili.
Un metodo standard per saggiare la bonta' di adattamento della regressione e' di valutare
quanto la regressione tiene conto della variazione dei valori osservati della variabile dipendente.
Per ottenere questo si utilizza il coefficiente di determinazione r 2 che e' dato dal rapporto tra
la varianza dei valori attesi (varianza della regressione) e quella dei valori osservati (varianza
totale) e che rappresenta il quadrato del noto coefficiente di correlazione. Quanto piu' questo
rapporto si avvicina a 1, tanto piu' i punti si trovano in prossimita' della retta e la relazione tra le
due variabili e' chiaramente spiegata.
r
2
2
∑(
ya
− y)
= (4.37)
2
∑(
y − y)
Tramite il metodo dei minimi quadrati e’ quindi possibile individuare quanto della varianza di
Y e’ spiegata da X. Ad esempio se il coefficiente di determinazione tra X e Y e' 0.58 si potra' dire
che il 58% della varianza di Y e' spiegata dalla varianza di X.
La variabilita' non spiegata dalla regressione viene chiamata variabilita' residua. La relazione
che intercorre tra le variabilita' totale, spiegata e residua e' espressa dalla seguente formula:
2
2
2
∑ ( y − y)
= ∑(
ya
− y)
+ ∑(
y − ya
)
(4.38)
cioe' la variabilita' totale (devianza dei valori osservati) e' uguale alla somma della variabilita'
spiegata dalla regressione (devianza dei valori attesi) e della variabilita' non spiegata, cioe' quella
residua calcolata sulle differenze dei valori osservati con quelli attesi.
Le due serie di dati dei valori osservati e di quelli attesi possono essere confrontate anche
con l'analisi della varianza (vedi paragrafo 4.8.2). In questo caso il test F e’ dato dal rapporto tra la
varianza dei valori attesi (varianza della regressione) e la varianza dei residui (varianza
dell'errore).
Quando non e’ intuibile il tipo di dipendenza tra due variabili, si possono assumere
indifferentemente l’una come variabile dipendente e l’altra come indipendente. Le due possibili
rette di regressione, che si possono calcolare su di un diagramma a dispersione, considerando
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