Enrico Feoli, Paola Ganis - UniversitÃ degli Studi di Trieste

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8.3 ANALISI DELLE CORRISPONDENZE L'analisi delle corrispondenze (COA, Corrispondence Analysis)) e' una tecnica di ordinamento simultaneo degli elementi di riga e di colonna di una matrice contenente valori di frequenza (tabella di contingenza). Gli ecologi la usano proprio per esaminare, in un’unica analisi, le interazioni ecologiche tra i rilievi e le specie animali e vegetali. Applicata agli studi di vegetazione, la tecnica prende il nome di analisi della concentrazione perche’ le tabelle di contingenza sono ricavate da tabelle fitosociologiche strutturate per gruppi di specie e gruppi di rilievi all’interno dei quali sono concentrati i dati espressi con valori di frequenza. L’analisi delle corrispondenze evidenzia le relazioni tra gli elementi descritti nei profili riga (valori espressi in percentuali di riga) e quelli dei profili colonna (valori espressi in percentuali di colonna) della tabella. Insito al metodo sta il concetto secondo il quale l'ordinamento delle colonne/oggetti lungo un gradiente puo' essere ottenuto sulla base delle medie pesate dei valori delle righe/variabili e, viceversa, l’ordinamento delle righe/variabili puo’ essere ricavato dalle medie pesate dei valori delle colonne/oggetti. Le diverse procedure di ordinamento differiscono tra loro, sostanzialmente, nel modo con cui ottengono i pesi delle specie e le coordinate dei rilievi. Abbiamo gia’ visto che nelle componenti principali gli elementi degli autovettori estratti dalla matrice di correlazione rappresentano i pesi di ciascuna variabile che sono utilizzati per il calcolo delle coordinate degli oggetti. L’analisi delle corrispondenze puo’ essere eseguita sia mediante estrazione di autovalori ed autovettori, secondo un approccio simile a quello dell’analisi delle componenti principali, sia attraverso una serie di operazioni di medie ponderate sulle righe e sulle colonne della tabella. Usando il primo approccio, il solo descritto in questo capitolo, la COA puo' essere considerata una variante dell'analisi delle componenti principali dalla quale si differenzia per il modo con cui i dati originali sono trasformati e per il modo con cui sono calcolati gli autovettori degli oggetti. Inoltre, a differenza dell'analisi delle componenti principali, che tratta principalmente dati continui, la COA e' particolarmente indicata per dati discreti di frequenza o d’incidenza. Se applicata correttamente a dati di questo tipo, la COA da’ una misura della correlazione tra le variabili e gli oggetti perche’ le loro coordinate sono ottenute in maniera tale da massimizzare la loro correlazione. Il metodo decompone il chi-quadrato totale di una tabella di contingenza estraendo gli autovalori e gli autovettori dalla matrice dei prodotti scalari calcolati sulle righe o sulle colonne della tabella di contingenza dopo che i dati di frequenza sono stati trasformati in maniera opportuna. Il chi-quadrato e’ decomposto secondo la relazione seguente: 8-119
2 χ = λ1F.. + λ2F.. + ... + λ pF.. (8.17) dove λ i rappresenta l’i-esimo autovalore e F.. il totale generale della tabella. Quanto piu' alto e' il chi-quadrato totale, tanto piu' netta e' la separazione tra gli elementi nella tabella e tanto maggiore e' il legame esistente tra le righe e le colonne. E’ stato dimostrato che gli autovalori corrispondono al quadrato dei coefficienti di correlazione canonica (λ k = R 2 k ) che indicano quanto le singole coppie di variabili canoniche (assi di ordinamento) delle righe e delle colonne sono correlate tra loro. Prodotto scalare tra le variabili m m Doppia trasformazione dei dati m S COA F A n n m Matrice dei dati trasformati Matrice dei dati di frequenza di m variabili in n oggetti n Q n Prodotto scalare tra gli oggetti |S-λI|=0 SB=λB Σb 2 =1 x = b p T r i p m B p≤min(m,n-1) m X p≤min(m,n-1) Variabili canoniche: assi di ordinamento delle variabili y = Σ fx c j m λ p p V Y |Q-λI|=0 Σv 2 =1 Variabili canoniche: assi di ordinamento degli oggetti n y = v n SV=λV p≤min(m,n-1) T c j p≤min(m,n-1) Fig. 8.8 Illustrazione della procedura di calcolo dell’analisi delle corrispondenze che ottiene un ordinamento simultaneo degli oggetti e delle variabili. passi: La strategia di calcolo utilizzata dalla COA e’ illustrata in Fig. 8.8 e comprende i seguenti 1) trasformazione della matrice F (mxn) dei dati di frequenza (f ij ) nella matrice A (mxn) secondo 8-120
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5.1 TRASFORMAZIONE DELLE VARIABILI.
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1 . I N T R O D U Z I O N E Che cos
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la teoria della gravitazione univer
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giusto. Se nella stanza dei figli i
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disordine ha valori tutti uguali in
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3.2 TIPI DI VARIABILI Come indica i
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numeri 1,2,3,4,5 attribuendo agli s
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Il poligono di frequenza e' un graf
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Mediana = 120 +10 [50/2-(4+6+8)]/10
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La varianza e’ una statistica imp
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t = | µ N 1 + N σ N N 1 − µ 2
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DV intraB DV intraC 96.6 = 1350.12
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∑( x − x)( y − y) r = (4.31)
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Leggendo nella tavola di Appendice
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completamente chiarita dall’equaz
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Sostituendo i valori dei coefficien
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k 2 2 (| fok − fak | −0.5) χ =
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Quanto piu’ i valori osservati si
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calcolata col software specifico, d
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l'analisi multivariata della varian
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