Enrico Feoli, Paola Ganis - Università degli Studi di Trieste

assi (autovettori) perpendicolari tra loro e ruotati rispetto al sistema originario di coordinate lungo
le direzioni di massima dispersione. 8
La metodologia matematica relativa a questo punto e' piuttosto complessa e la sua piena
comprensione implica la conoscenza di nozioni dell'algebra delle matrici. Nel mondo scientifico
esistono molti programmi di calcolo che svolgono agilmente i numerosi calcoli implicati nel metodo
e possono quindi essere utilizzati nella completa ignoranza dell'insieme di operazioni da eseguire.
Riteniamo tuttavia utile, per un piu' consapevole utilizzo del metodo, soffermarci nella
descrizione del calcolo degli autovalori ed autovettori delle matrici simmetriche consigliando la
consultazione di testi di algebra lineare per spiegazioni piu' dettagliate a riguardo.
Oggetti
Q(nxn)
Variabili
Oggetti
X(mxn)
Variabili
R(mxm)
Fig. 8.2 Dalla matrice X di m variabili x n oggetti, sono calcolate due
matrice simmetriche: la matrice R di mxm variabili e la matrice Q di
nxn oggetti.
Poiche' il metodo e' sostanzialmente identico per entrambe le matrici R e Q, adottiamo il
simbolo S(pxp) per indicare la generica matrice simmetrica di similarita’ 9 , equivalente a R o Q, di
ordine p corrispondente a m righe/variabili o n colonne/oggetti.
Ad ogni matrice quadrata simmetrica S di ordine p sono associati p valori scalari λ i
(i=1,2,…,p) e p vettori B i tali da soddisfare la seguente equazione fondamentale:
( SB − λ B ) = 0
(8.1)
i
i
i
che, raccogliendo B i , puo’ essere espressa anche nella forma:
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
8 Dal punto di vista matematico in questo processo la matrice simmetrica viene decomposta in una
matrice di autovettori e in una matrice diagonale, tale cioe’ che solo gli elementi sulla diagonale, che
rappresentano le varianze delle variabili, risultino positivi (autovalori) e tutti gli altri (covarianze) uguali a
zero.
9 Ad una qualunque matrice di somiglianza, che puo' essere vista come una trasformazione dei dati
originali, si possono applicare i metodi di analisi multivariata lineari e non lineari. Per ottenere la matrice S si
possono utilizzare anche funzioni non lineari. In questo caso gli autovettori sono da intendersi solo come
combinazioni lineari dei vettori della matrice di somiglianza.
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