Enrico Feoli, Paola Ganis - Università degli Studi di Trieste

simmetrica e’ di somiglianza, il primo autovettore rappresenta l’asse di minor dispersione, cioe’ di
maggior somiglianza, il secondo rappresenta la somiglianza non espressa dal primo e cosi’ via.
Anche gli elementi degli autovettori hanno significato diverso a seconda che la matrice da cui
sono stati estratti sia di correlazione o di somiglianza. Nel primo caso essi sono ancora coefficienti
di correlazione che indicano quanto ciascuna variabile e’ correlata con l’autovettore stesso e quindi
rivelano l’importanza della variabile nella definizione dell’autovettore. Nel secondo caso denotano
quanto una variabile o un oggetto siano simili alle altre variabili o agli altri oggetti.
8.1.1 Esempio di calcolo
Supponiamo di aver rilevato cinque stati vegetazionali (n=5) sulla base di due specie (m=2)
e di aver riportato i relativi valori di abbondanza nella Tab. 8.1 che costituisce la matrice dei dati
X. 13 Tab. 8.1 Matrice dei dati relativi all’abbondanza di due
specie vegetali osservate in 5 stazioni di rilevamento.
specie
rilievi
1 2 3 4 5 medie
1 1 2 5 0 5 2.6
2 3 4 5 2 3 3.4
Costruiamo ora la matrice simmetrica S(mxm) calcolando la covarianza tra le specie secondo
l’eq. (7.10). In dettaglio il valore s 1,2 e' dato da:
s
(1 − 2.6)(3 − 3.4) + ... + (5 − 2.6)(3 − 3.4)
=
4
1 ,2
=
1.7
e, calcolando gli altri valori in maniera analoga, otteniamo la seguente matrice simmetrica:
S
2 x2
=
5.3
1.7
1.7
1.3
Calcoliamo ora gli autovalori e gli autovettori di questa matrice. Estraiamo prima gli
autovalori applicando l’equazione (8.5), cioe’ ponendo uguale a 0 il determinante della matrice
( S − λI 2
):
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
13 Limitiamo al minimo le dimensioni della matrice di esempio per evitare un eccesso di pagine di
calcolo. Ricordiamo tuttavia che l'applicazione ideale di questi metodi e' a tabelle di grandi dimensioni
proprio allo scopo di ridurle.
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