Enrico Feoli, Paola Ganis - Università degli Studi di Trieste

Y
Y
y 2
y 1
a
b
4 a
3
2
1
c
d
b
x 1 x 2
X
1 2
3
4
X
Fig. 7.1 – Rappresentazione grafica della
distanza euclidea in uno spazio a due
dimensioni. Essa e’ il segmento che
unisce i punti a e b.
Fig. 7.2 – Esempio di come la distanza
euclidea puo’ essere maggiore tra oggetti simili
che tra oggetti non aventi nulla in comune.
La distanza euclidea ha un inconveniente di cui bisognerebbe tenere conto in certe
circostanze. Essa puo’ risultare inferiore tra due oggetti completamente diversi che tra due molto
simili. La Fig. 7.2, che riporta i valori della Tab. 7.1, mostra graficamente questa situazione: si puo’
osservare come tra gli oggetti c e d, che non hanno niente in comune, c’e’ una distanza inferiore a
Tab. 7.1 Tabella in cui quattro oggetti sono
descritti da 2 variabili. Si noti che gli oggetti
c e d non hanno nulla in comune.
a b c d
x 2 4 0 1
y 4 3 1 0
quella tra a e b.
Per superare questo inconveniente, che si
puo’ verificare quando nella matrice dei dati ci sono
parecchi valori uguali a zero, si applica la distanza
euclidea dopo aver normalizzato gli oggetti secondo
la (5.8). Questa trasformazione, uniformando la
lunghezza dei vettori-oggetto, colloca tutti i puntioggetto
sulla superficie di un’ipersfera di raggio unitario e fa si’ che la distanza euclidea vari tra 0 e
√2. E’ sempre √2 quando due oggetti non hanno nulla in comune ed e’ uguale a 0 quando i due
oggetti sono uguali, cioe’ hanno una posizione coincidente nello spazio. La distanza euclidea cosi’
trasformata prende il nome di distanza della corda perche’ misura il segmento (corda) che
sottende l’arco che unisce i due punti-oggetto nella superficie ipersferica. Essa puo’ essere
calcolata direttamente secondo la seguente formula:
m
⎛
⎞
⎜ ∑ xiaxib
⎟
i=
1
D
corda
= 2⎜1−
( a,
b)
⎟
2 2
(7.2)
⎜ ∑ xia
∑ xib
⎟
⎝
⎠
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