Enrico Feoli, Paola Ganis - Università degli Studi di Trieste

s
11
s
− λ
21
...
s
p1
s
22
s
12
− λ
...
s
p2
...
...
...
...
s
s
s
pp
1p
2 p
...
− λ
= 0
(8.5)
Sviluppando il determinante si genera un polinomio di grado p in λ e l'equazione (8.5) si
trasforma in un’equazione di grado p in incognita λ. Gli autovalori rappresentano quindi tutte le
soluzioni dell'equazione (8.5). Trovati i p autovalori λ i , si sostituiscono, uno per volta, nel sistema
di equazioni omogenee (8.3) per trovare i corrispondenti autovettori B 12 i .
Anche se le soluzioni sono tante quante sono le dimensioni della matrice, nell'analisi
multivariata sono considerati solo gli autovalori positivi che definiscono il numero di dimensioni
dello spazio, cioe’ il suo rango, e sono scartati quelli negativi e nulli. La somma degli autovalori
positivi e’ uguale alla somma (traccia) degli elementi della diagonale della matrice simmetrica
stessa, che esprime la varianza totale della tabella. Piu’ spesso l’autovalore e’ espresso in
percentuale di varianza spiegata [eq. (8.6)] cosicche’ la percentuale cumulativa di varianza, oltre a
dare un’idea della dimensionalita’ dello spazio, indica quanto lo spazio ridotto, determinato dai
primi due o tre assi, sia rappresentativo dello spazio multidimensionale: quanto piu’ il valore di
percentuale di varianza cumulata dai primi assi e’ elevato, tanto meglio lo spazio ridotto sintetizza
lo spazio originale. Se il primo autovalore e’ molto piu’ grande del secondo, si puo’ dedurre che la
struttura di correlazione o di somiglianza tra le variabili non e’ molto complessa perciò uno o pochi
assi potrebbero essere sufficienti a descriverla.
λ
%
i
λi
= 100
(8.6)
∑λ
i
Gli autovalori hanno significato diverso a seconda che siano calcolati per matrici di
correlazione o varianza-covarianza, o per matrici di somiglianza . Nel primo caso essi danno
un’indicazione della dispersione, nel secondo caso della somiglianza. Essi sono estratti secondo
ordine decrescente di grandezza per far si' che gli autovettori associati siano anch'essi in ordine
decrescente di variabilita' o somiglianza. Quindi se la matrice simmetrica e’ di correlazione o di
varianza-covarianza, il primo autovettore rappresenta l’asse di maggiore dispersione, il secondo
l’asse di dispersione non presa in considerazione dal primo e cosi’ via. Se invece la matrice
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
12 Come viene spiegato nell’esempio che segue questo paragrafo, poiche’ risolvendo il sistema si
possono trovare infinite soluzioni di autovettori, essendo queste tutte proporzionali tra loro, si e’ soliti
normalizzare gli autovettori o all’unita’ o alla radice dell’autovalore corrispondente. Essi risultano tutti
ortogonali tra loro.
8-100