Enrico Feoli, Paola Ganis - Università degli Studi di Trieste

La centratura dei dati, togliendo ad ogni valore il valore medio della variabile di
appartenenza, comporta solo una collocazione diversa dell'origine degli assi. Il tipo di
trasformazione adottata per ottenere gli elementi della matrice A e’ strettamente collegata con la
scelta dell'indice per il calcolo della matrice S. La trasformazione generica per centrare i dati della
matrice X e' la seguente:
a
ij
x
− x
ij i
= (8.11)
F
i
dove x ij rappresenta il valore generico della matrice originale dei dati X,
x i e' il valore medio
della variabile i e F i e' il fattore di standardizzazione che, nel caso piu' semplice, e' uguale a 1. Per
F i uguale alla deviazione standard [eq. (4.17)], a ij diventa la variabile standardizzata z [eq. (5.4)] e
per F i =√(N-1), i dati vengono trasformati secondo la (5.3). A seconda della trasformazione
adottata, le soluzioni delle componenti principali diversificano rispetto alla (8.7) solo per il fattore
F i . Se si utilizzano le trasformazioni in maniera corretta secondo il prospetto riportato in Tab. 8.3, le
componenti principali determinate con la (8.7) sono automaticamente normalizzate alla radice
dell'autovalore corrispondente.
Tab. 8.3 Corrispondenza tra le trasformazioni delle variabili della matrice X (Eq. 1) e gli indici di
similarita’ (Eq. 2) da applicare allo scopo di ottenere componenti principali automaticamente
normalizzate alla radice dell'autovalore.
F i Eq. 1 Indice di S Eq. 2
1 (5.2) Prodotto scalare centrato (7.4)
n −1
(5.3) Covarianza (7.10)
2
∑ ( x ij
− x)
(5.8) Coefficiente di correlazione (7.8)
In caso contrario, essendo le varie soluzioni proporzionali tra loro, e' sempre possibile
ottenere questa normalizzazione in un secondo momento dividendo ciascun valore della
componente per la sua norma e moltiplicando per la radice dell’autovettore corrispondente come
indicato dalla seguente equazione:
y
'
ij
y = ij
λ
2
i
∑ y
(8.12)
ij
8-108