Institutsbericht 2010/2011 - Leibniz-Institut für Atmosphärenphysik ...

41 Ein dynamisches Turbulenzmodell für globale Modellierung
(U. Schaefer-Rolffs, E. Becker)
In der Beschreibung der horizontalen Diffusion im
KMCM wurde in den letzten Jahren das nichtlineare
Smagorinsky-Schema, eine Erweiterung des Prandtlschen
Mischungswegansatzes, verwendet. Die zugrunde
liegende Theorie hat allerdings die Schwäche, dass,
im Gegensatz zu den Navier-Stokes-Gleichungen, die
Skaleninvarianz nicht erfüllt wird. Außerdem ist das
Smagorinsky-Schema nicht ausreichend, um das Verhalten
des Energiespektrums in den Mesoskalen befriedigend
zu beschreiben. Abb. 41.1 zeigt das Spektrum in
einer bisherigen Version des KMCM mit maximaler Wellenzahl
n T = 120, in der drei verschiedene horizontale
Mischungslängen verwendet wurden. Die ersten beiden
Werte ergeben eine zu schwache Diffusion in den Mesoskalen;
der höchste Wert scheint hier das Spektrum zwar
richtig nachzubilden, jedoch zeigt sich, dass dazu die
resultierende barokline Wellenaktivität zu schwach ist.
Eine realistische Simulation der Atmosphäre auf allen
aufgelösten Skalen ist auf diese Weise nur eingeschränkt
möglich.
Abb. 41.1: Energiespektrum im KMCM
mit den Mischungslängen: lh 2 = 1,25 · 108
(gepunktet), lh 2 = 4 · 108 (durchgezogen,
Standardlauf) und lh 2 = 1,25 · 109 (gestrichelt).
Die dünn gestrichelten Linien kennzeichnen
exponentielle Steigungen von −3
und −5/3.
Eine Erweiterung des Smagorinsky-Schemas nach M. Germano, das dynamische Smagorinsky-
Modell (DSM), geht nun davon aus, dass die Mischungslänge nicht als Parameter vorgeschrieben
werden muss, sondern sich lokal aus den aufgelösten Skalen abschätzen lässt. Dazu wird der Bereich
der Mesoskalen betrachtet, der innerhalb des durch geschichtete Turbulenz (vgl. Kap. 42) erzeugten
Trägheitsbereiches liegt. Dann lässt sich aus dem Vergleich des numerisch aufgelösten Strömungsfelds
und der Parametrisierung eine tensorielle Definitionsgleichung für die Mischungslänge
aufstellen, welche automatisch die Skaleninvarianz gewährleistet. Zur Lösung dieser Gleichung gibt
es verschiedene Ansätze, welche wir zunächst mit einem einfachen analytischen Windfeld getestet
haben. Dabei zeigte sich, dass in den meisten gebräuchlichen Ansätzen der Diffusionskoeffizient
nicht positiv definit ist, und somit keine numerische Stabilität zu erwarten ist. Unser neuer Ansatz
verwendet nur die Norm der Tensorgleichung und erfüllt so alle physikalischen Anforderung
(Erhaltungssatz und Skaleninvarianz).
Abb. 41.2: Energiespektren für das konventionelle
(gepunktet) und dynamische Smagorinsky-
Modell mit TF 90/90 (durchgezogen)
Die Umsetzung des DSM erfordert, dass für die
Mesoskalen ein sogenannter Testfilter eingeführt
wird, welcher innerhalb eines Wellenzahlintervalls
[n x , n y ] so einsetzt, dass alle Wellenzahlen größer
als n y komplett weggefiltert werden. Diesen Filter
bezeichnen wir mit TF n x /n y . Der Testfilter
wird in jedem Zeitschritt vor der Bestimmung der
Windänderungen auf die für die Mischungslänge
wichtigen Größen angewandt und die Mischungslänge
l h lokal ausgerechnet. Für die im Folgenden
präsentierten Ergebnisse wurde eine Version des
KMCM mit n T = 120 und 30 Hybridschichten
verwendet. Die Simulation ist so eingestellt, dass
eine mit umfassenden Klimamodellen vergleichbare
planetare und synoptische Wellenaktivität erzeugt
wird und der Lorenzzyklus realistische Stärke
zeigt. Es wurde eine Reihe von Läufen mit
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