Institutsbericht 2010/2011 - Leibniz-Institut für Atmosphärenphysik ...

51 Zur Abschätzung der Persistenz in geophysikalischen Zeitreihen
(Ch. Zülicke, D.H.W. Peters)
Für die Beurteilung der Signifikanz geophysikalischer Zeitreihen muss der Endlichkeit der Aufzeichnung
und der Persistenz des Prozesses Rechnung getragen werden. Dazu wurde von Julius
Bartels in den 1930er Jahren das Konzept des effektiven Freiheitsgrades entwickelt. Er lässt sich
aus der stochastischen Theorie als N eff = T/J abschätzen, wobei T die Länge der Reihe und die
’Bartels-Formel’ J(T ) = 2 ∫ T
0
dτr(τ) die Persistenz angibt. Bei diesem stochastischen Ansatz wird
über die Auto-Korrelationsfunktion r(τ) integriert. Das kann aber zu Problemen führen, wenn die
Korrelation auch negative Werte annimmt, was bei gedämpften Oszillationen der Fall ist. Deshalb
wäre die Integration über deren Einhüllende, die der Amplitude der Dynamik entspricht, besser
zur Abschätzung der Persistenz geeignet. Dafür wurde von den Autoren eine physikalisch motivierte
Persistenzabschätzung nach Ruslan L. Stratonovich J ∗∗ (T ) = C ∗ J ∗ (T ) empfohlen, bei der
für J ∗ (T ) = 2 ∫ T
dτ|r(τ)| (der ’Stratonovich-Formel’) über den Betrag der Korrelationsfunktion
0
integriert wird und C ∗ ein Korrekturfaktor zwischen 1 und π/2 ist. Er kommt zur Anwendung,
wenn die Periode der Harmonischen kürzer als die Abklingzeit des Prozesses ist. Die verschiedenen
Persistenzabschätzungen wurden für eine vorgegebene Korrelationsfunktion analytisch ausgeführt
und verglichen. Tatsächlich bleibt die ’Stratonovich-Formel’ auch für hohe Frequenzen endlich,
wobei die ’Bartels-Formel’ gegen Null geht.
(a) (b) (c)
Abb. 51.1: Ergebnisse für die Zeitreihe der IAP-Phasenhöhenmessung, gefiltert mit einem Bandpass
von 2,7 bis 27 Jahren. (a) Zeitreihe mit Variationen und linearem Trend. (b) Empirische Autokorrelationsfunktion
(durchgezogen) und deren numerische Anpassung an eine Exponential-Cosinus-Funktion
(r(τ) = exp(−α τ) cos(ω τ), gepunktet). (c) Unkorrigierte Persistenzzeit nach der ’Stratonovich-Formel’
(J ∗ , durchgezogen) und der ’Bartels-Formel’ (J, gepunktet).
Als praktisches Beispiel soll die 42 Jahre lange Zeitreihe der gefilterten IAP-Phasenhöhenmessungen
dienen. Sie zeigt Variationen mit ca. 500 m Amplitude und einen linearen Trend
(Abb. 51.1a). Die Variationen ergeben eine Autokorrelationsfunktion mit einer abklingenden Harmonischen
(Abb. 51.1b). Während die Anwendung der ’Bartels-Formel’ J in einen unphysikalischen
negativen Wert von −0,32 Jahren resultiert, erhalten wir aus der ’Stratonovich-Formel’ J ∗ einen
Wert von 7,5 Jahren (Abb. 51.1c). Da die Zeitreihe eine deutliche harmonische Komponente enthält,
muss noch der Korrekturfaktor C ∗ angewandt werden und es ergibt sich eine korrigierte
Persistenzzeit J ∗∗ von 12 Jahren. Der letzte Wert wurde auch durch visuelle Inspektion und eine
numerische Anpassung bestätigt. Somit können wir die physikalische Persistenzabschätzung als robust
ansehen und der vorliegenden Zeitreihe einen effektiven Freiheitsgrad von N eff = 42/12 = 3,5
zuordnen.
Mit diesem Beitrag zur Theorie stochastischer Systeme wird die praktische Auswertung von
Zeitreihen um eine robuste Methode ergänzt.
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