Corrigés des exercices - Pearson

parité obtenue dans l’exercice précédent. De même, les options digitales de type asset-or-nothingsont évaluées par les formules :c dig,A/N0 (S 0 , K, T) = e −rT E Q [ S T 1 {ST K}]= S0 N [d 1 ] etp dig,A/N0 (S 0 , K, T) = e −rT E Q [ S T 1 {ST K}]= S0 N [−d 1 ] ,qui apparaissent également dans la formule de BSM.3 Un portefeuille qui contient une position longue dans une action S et une position courte dansune option d’achat sur S d’échéance T et de prix d’exercice K s’évalue :ptf 0= S 0 − c BSM0 ,avec c BSM0 la prime de l’option selon la formule de BSM. On a :ptf 0= S 0 − S 0 N [d 1 ] + Ke −rT N [d 2 ]= S 0 (1 − N [d 1 ]) + Ke −rT N [d 2 ]= S 0 N [−d 1 ] + Ke −rT N [d 2 ] .On aurait pu également actualiser les flux futurs ptf 0 = e −rT E Q [ptf T] avec :{ K si ST Kptf T=S T si S T K .On aurait obtenu le même résultat. Pour le portefeuille qui contient une position longue dansune action S et une position longue dans une option de vente sur S d’échéance T et de prixd’exercice K, les flux à échéance sont :{ST si Sptf T=T KK si S T K .On a alors :ptf 0= e −rT E Q [ptf T] = S 0 N [d 1 ] + Ke −rT N [−d 2 ] .On aura reconnu les expressions asssociées aux options digitales.4 La stratégie d’écart d’options d’achat haussier avec des calls s’évalue :c 0 (S 0 , K 1 , T) − c 0 (S 0 , K 2 , T) = S 0 (N [d 1 (K 1 )] − N [d 1 (K 2 )])−e −rT (K 1 N [d 2 (K 1 )] − K 2 N [d 2 (K 2 )]) . (7.1)106Cette solution est obtenue parce qu’en AOA, la valeur de la stratégie égalise celle du portefeuillequi la duplique. On peut aussi évaluer directement le pay-off de la stratégie qui apparaîtdans le tableau de l’exercice et on trouveBear Spread 0= e −rT E [ ]Q (S T − K 1 ) 1 {K1