Corrigés des exercices - Pearson

– La loi normale étant symétrique, la probabilité que v T soit supérieure à C est égale à laprobabilité d’être inférieure à −C. On a :[Q [V T K] = Q v T − ln (K/V 0) − ( r − 1 2 σ2) ]Tσ √ T[= Q v T ln (V 0/K) + ( r − 1 2 σ2) ]Tσ √ . (7.3)T– Finalement, on reconnaît d 1 et la fonction de répartition de la loi normale N [x] = Q [v T x].D’où Q [V T K] = N [d 1 ].Si on change r par µ dans l’équation (7.2), la démonstration ne change pas sur le fond. Pourobtenir le résultat, il suffit de changer r par µ dans la solution (7.3). On trouve :[P [V T K] = P v T ln (S 0/K) + ( µ − 1 2 σ2) ]Tσ √ = N [h 1 ] ,Ten notant h 1 = ln(S 0/K)+(µ− 1 2 σ2 )Tσ √ . Les deux expressions sont donc assez similaires. dT1 eth 1 , en particulier, partagent un certain nombre de termes. On a :etd 1 = ln (S 0/K) + ( r − 1 2 σ2) Tσ √ Th 1 = ln (S 0/K) + ( µ − 1 2 σ2) Tσ √ T√ √D’où : d 1 − h 1 = r σ T −µσ T. On a doncetd 1 = h 1 − µ − rσ= ln (S 0/K) − 1 2 σ2 Tσ √ T= ln (S 0/K) − 1 2 σ2 Tσ √ Th 1 = d 1 + µ − r √T.σ+ r σ√T+ µ σ√T.√T (7.4)Lorsque la rentabilité requise par les investisseurs µ est supérieure à r, h 1 est supérieure à d 1et la probabilité P [V T K] est supérieure à Q [V T K] 6 . On a :P [V T K] Q [V T K] .Il est très intéressant de retrouver le terme µ−rσqui renvoie à la notion de prix de risque etde ratio de Sharpe... L’équation (7.4) nous apprend également que si on connaît h 1 alors onpeut en déduire d 1 et donc la probabilité risque-neutre N [d 1 ]. Or, parfois, on dispose plusfacilement de N [h 1 ] = P [V T K] que h 1 . On a alors h 1 = N −1 [P [V T K]] et on peutdonc écrire :d 1 = N −1 [P [V T K]] − µ − r √T ,σ6 Attention ! si on s’intéresse à une option de vente P [V T K] = 1 − P [V T K] serait plus petit queQ [V T K] = 1 − Q [V T K].111© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux