Corrigés des exercices - Pearson

Fig. 3.8 : Volatilité conditionnelle GARCH(1,1) estimée sur le CAC 40.90%80%70%60%50%40%30%20%10%0%04/01/199904/01/2000GARCH(1,1) vs Vol glissante04/01/200104/01/200204/01/200304/01/200404/01/200504/01/200604/01/200704/01/200804/01/200990,00%80,00%70,00%60,00%50,00%40,00%30,00%20,00%10,00%0,00%05/01/199929/02/200024/04/2001Vol. GARCH(1,1) ann CAC 4018/06/200212/08/200305/10/200429/11/200523/01/200718/03/200812/05/20098 000,007 000,006 000,005 000,004 000,003 000,002 000,001 000,003 L’estimation des paramètres du processus GARCH(1,1) s’effectue par maximum de vraisemblance,ce qui permet (contrairement à la volatilité EWMA) :a) d’associer aux valeurs estimées l’écart-type des estimateurs employés (on parle parfois d’erreurtype) ;b) d’effectuer des tests.⎞Pour estimer les erreurs types, on reprend les formules données dans l’énoncé. On trouve 3 :⎛2, 83.10 −1 −2, 60.10 −1 3, 78.10 −6⎛3, 78.10 −6 −7, 61.10 −6 5, 99.10 −6⎞8, 00.10 1 8, 60.10 1 6, 46.10 5J −1 = ⎝ −2, 60.10 −1 2, 84.10 −1 −7, 61.10 −6 ⎠ ,6, 46.10 5 8, 13.10 5 9, 19.10 9I = ⎝ 8, 60.10 1 1, 01.10 2 8, 13.10 5 ⎠ .Si les données sont supposées normales (comme dans l’énoncé), on a par exemple :√ √J −11,1 2, 83.10−1̂σâ = == 0, 009936.N total 2868Sinon, la maximisation d’une log-vraisemblance ne nous fournit que des estimateurs du quasimaximumde vraisemblance et le calcul de l’erreur√type de â demande de connaître G =J −1 IJ −1 G−11,1(aisé à faire sur Excel). On a alors ̂σâ =N total. Les résultats sont récapitulés dansle tableau suivant :Erreurs typesParamètres Valeurs estimées MV QMVc 1, 66.10 −6 4, 57.10 −7 5, 50.10 −7a 0, 0832 0, 009936 0, 013290b 0, 9098 0, 009956 0, 187910-503 Attention : la première ligne correspond à a, la deuxième à b et la troisième à la constante c.© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux