Corrigés des exercices - Pearson

Exercice 7Solution1 On peut démontrer l’expression de plusieurs manières :a) en dérivant la définition de la duration de Hicks :dD Hicks (y)= d [− 1 ]dP (y)dy dy P (y) dy= d [− 1 ] dP (y)dy P (y) dy − 1P (y)[1P(y)dP(y)dy] 2 =D 2 Hicks[ ]d dP (y)dy dydP (y) /dy dP (y)=P (y) 2 − 1 d 2 P (y)dy P (y) dy 2} {{ } } {{ }CX y;b) en notant que dP(y)dy = −D HicksP (y). On a en effet dans ce cas :d 2 P (y)dy 2= − dD Hicks (y)dy× P (y) − D Hicks (y)dP (y)dyet on trouve le résultat en divisant à gauche et à droite par le prix de l’obligation et en réorganisantl’égalité.2 L’expression de la question précédente se réécrit :dD Hicks (y)dy=[ ∑ia i t i] 2− ∑ ia i t 2 i,avec des a i > 0 tels que ∑ ia i = 1. Les (a i ) i sont donc assimilables à des probabilités. Deuxapproches peuvent être mobilisées.– La première approche consiste à appliquer l’inégalité dite de Jensen à la fonction f (x) = x 2 .On a :( ) 2 ( ∑ ∑a) a i t i = f a i t i). C’est la moyenne des durées jusqu’aux flux financiers,iimoyenne transformée par la fonction f.b) ∑ a i t 2 i = ∑ a i f (t i ). C’est la moyenne des durées transformées par f.iiComme la fonction f est convexe, l’inégalité de Jensen s’applique et[ ∑ia i t i] 2 ∑ ia i t 2 i .– La seconde approche consiste à noter que, si les (a i ) i sont des poids, alors le terme :[ ∑i78a i t i] 2− ∑ ia i t 2 i© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux