Corrigés des exercices - Pearson

avec d 1 (K p (0)) = 1 2 σ√ T et d 2 (K p (0)) = − 1 2 σ√ T. On a donc[ ] 1p (S 0 , K p (0) , T) = S 0 N2 σ√ T= S 0(1 − 2N[− S 0 N[− 1 ])2 σ√ T .− 1 2 σ√ T],En conclusion, lorsque x = 0, les primes d’options sont égales c (S 0 , K c (0) , T) = p (S 0 , K p (0) , T)et la prime de skewness est nulle :Sk (0) = c (S t, K c (0) , T) − p (S t , K p (0) , T)p (S t , K p (0) , T)Pouvait-on s’y attendre ? Bien sûr ! Lorsque x = 0, le prix d’exercice commun aux deux optionsest le prix à terme de l’action. Dans ce cas, la formule de parité call / put nous apprendque les primes de put et de call sont identiques.3 La figure 7.9 représente le skewness premium obtenu dans le contexte de Black, Scholes et Merton.Fig. 7.9 : skewness premium dans BSM.= 0.1.0Skewness Premium0.80.60.40.20.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x114Le skewness premium est égal à x ! Si vous changez vos paramètres, cela ne change rien !4 Idem 3.5 Pour la démonstration, il suffit de réécrire les primes d’options données par le modèle de BSMavec les prix d’exercice K c (x) et K p (x) et de simplifier les expressions. Pour le call, on trouve :[ ( − ln (1 + x)c BSM (S 0 ; K c (x) , T) = S 0 N +σ √ T+ 1 )]2 σ√ T[ ( − ln (1 + x)−S 0 (1 + x) N +σ √ T= S 0 N [g 1 ] − S 0 (1 + x) N [g 2 ] .− 1 )]2 σ√ T© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux