CorrigÃ©s des exercices - Pearson

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avec d 1 (K p (0)) = 1 2 σ√ T et d 2 (K p (0)) = − 1 2 σ√ T. On a donc[ ] 1p (S 0 , K p (0) , T) = S 0 N2 σ√ T= S 0(1 − 2N[− S 0 N[− 1 ])2 σ√ T .− 1 2 σ√ T],En conclusion, lorsque x = 0, les primes d’options sont égales c (S 0 , K c (0) , T) = p (S 0 , K p (0) , T)et la prime de skewness est nulle :Sk (0) = c (S t, K c (0) , T) − p (S t , K p (0) , T)p (S t , K p (0) , T)Pouvait-on s’y attendre ? Bien sûr ! Lorsque x = 0, le prix d’exercice commun aux deux optionsest le prix à terme de l’action. Dans ce cas, la formule de parité call / put nous apprendque les primes de put et de call sont identiques.3 La figure 7.9 représente le skewness premium obtenu dans le contexte de Black, Scholes et Merton.Fig. 7.9 : skewness premium dans BSM.= 0.1.0Skewness Premium0.80.60.40.20.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x114Le skewness premium est égal à x ! Si vous changez vos paramètres, cela ne change rien !4 Idem 3.5 Pour la démonstration, il suffit de réécrire les primes d’options données par le modèle de BSMavec les prix d’exercice K c (x) et K p (x) et de simplifier les expressions. Pour le call, on trouve :[ ( − ln (1 + x)c BSM (S 0 ; K c (x) , T) = S 0 N +σ √ T+ 1 )]2 σ√ T[ ( − ln (1 + x)−S 0 (1 + x) N +σ √ T= S 0 N [g 1 ] − S 0 (1 + x) N [g 2 ] .− 1 )]2 σ√ T© 2010 <strong>Pearson</strong> France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
Pour le put, on trouve :On a donc :soit encorep BSM (S 0 ; K c (x) , T) = S 01 + x N [−S 0 N[−( ln (1 + x)−σ √ T( ln (1 + x)σ √ T− 1 )]2 σ√ T)]+ 1 2 σ√ T= 11 + x {S 0N [g 1 ] − S 0 (1 + x) N [g 2 ]} .p BSM (S 0 ; K c (x) , T) = cBSM (S 0 ; K c (x) , T)1 + xx = cBSM (S 0 ; K c (x) , T) − p BSM (S 0 ; K c (x) , T)p BSM .(S 0 ; K c (x) , T),115© 2010 <strong>Pearson</strong> France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
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Corrigés des exercices
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avec o (x) un terme négligeable. O
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7 Vous allez devoir estimer 200 ren
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Exercice 4Solution⎛⎞0, 01000 0,
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Fig. 1.1 : Les enveloppes de portef
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⎛portefeuille M : E [R M ] = 9, 8
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Dans le repère (0, E [R] , σ), il
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Au total, on trouve :σ 2 P = 1 (N
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où λ est le multiplicateur de Lag
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Notons qu’il n’existe pas d’e
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La première expression démontre q
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pointe vers la droite (et donc les
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3 On trouve le tableau 2.7.Tab. 2.7
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changement de variable N −1 [u] =
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fort. Le coefficient d’asymétrie
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Fig. 2.7 : Détermination graphique
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Chapitre 3Exercice 1Solution1 La mi
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On trouve évidemment des valeurs i
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estimer σ 2 t. On peut d’ailleur
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La figure 3.4 compare trois volatil
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Fig. 3.6 : Recherche du lambda opti
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L’égalité (1) vient de la norma
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La structure par terme de volatilit
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Fig. 3.8 : Volatilité conditionnel
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Exercice 9SolutionOn va estimer les
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Chapitre 4Exercice 1Solution1 On tr
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soit encorep (t 0 + 1, t 0 + 16) =
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la rente perpétuelle demande un mo
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Les taux d’intérêt spot et forw
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Exercice 6Solution1 Cette obligatio
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