CorrigÃ©s des exercices - Pearson

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Fig. 9.10 : Histogramme des prix obtenus à 1 et 3 mois0,121 mois0,10,080,060,040,020535,02 692,68 850,33 1007,99 1165,64 1323,30 1480,95 ou plus2 2, 3 et 4. L’estimation des différentes primes d’options d’achat se fait avec la même méthodeque l’exercice précédent. Les volatilités implicites sont obtenues en inversant la formule deBlack, Scholes et Merton à l’aide du solver. On trouve le tableau suivant avec en gras le prixd’exercice qui correspond au prix à terme :K Prime MC BSM vol Imp810,06 201,5222 24,63 %860,69 154,2885 23,74 %911,32 110,7915 23,13 %961,95 73,9443 22,93 %1012,58 45,6851 22,92 %1063,21 26,3716 23,11 %1113,84 14,3253 23,38 %1164,47 7,2974 23,58 %1215,09 3,4897 23,72 %La prise en compte d’une volatilité hétéroscédastique donne là encore un smile de volatilitéimplicite.5 La représentation graphique du smile de volatilité indique néanmoins une forme différente(voir figure 9.11).6 En diminuant de 10 % la valeur du paramètre a ou celle du paramètre b, on trouverait qualitativementles mêmes résultats que l’exercice précédent.Exercice 5SolutionLa formule à programmer est la suivante :142c 0 (K, T) = S 0 N [h 1 (S 0 , K, T)] − Fp 0 (0, T) N [h 2 (S 0 , K, T)] (9.1)© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
Fig. 9.11 : Smile de volatilité24,80 %24,60 %24,40 %24,20 %24,00 %23,80 %23,60 %23,40 %23,20 %23,00 %22,80 %800,00 850,00 900,00 950,00 1000,00 1050,00 1100,00 1150,00 1200,00 1250,00avec, en notant V (0, T) = ∫ T [0 σ2S+ σ 2 p 0(u, T) − 2ρ r,S σ S σ p0 (u, T) ] du,h 1 (S 0 , K, T) = ln (S 0/ [Fp 0 (0, T)]) + 1 2V (0, T)√V (0, T)et h 2 (S 0 , K, T) = h 1 (S 0 , K, T) − √ V (0, T). On consultera le synthex pour la formule d’évaluationde l’obligation zéro-coupon dans le contexte de Vasicek (1977). La variance totalede l’actif est, elle, donnée par :[V (0, T) = T σ 2 S + σ2 rκ 2 + 2ρ ]r,Sσ S σ r 1 − exp [−κT] (− 2 σ2kκ 3 r + ρ r,S σ r σ S k )+ σ2 r1 − exp [−2κT]κ 2 .2κCette formule est très simple à calculer sur Excel. Si le taux instantané r 0 soit égal à 5%et θ Q = 5 %, σ r = 5%, k r = 1, alors le prix du zéro-coupon de maturité 3 mois et devaleur faciale unitaire est, selon le modèle de Vasicek (1977), 0,98758. Si, de plus S 0 = 1 000et σ S = 40 % et ρ rS = −0, 25 alors l’option d’achat de durée de vie 3 mois et de prixd’exercice le prix à terme vaut 79,3827. La variance totale est ici V (0, T) = 0, 0397, soit unevolatilité (annualisée) d’environ 40 %. Pour de nombreuses situations, catte variance ne changeque très peu en fonction de la corrélation (à moins de considérer des valeurs déraisonnables).On conclura que, dans le modèle de Vasicek, le comportement aléatoire des taux d’intérêtn’impacte que finalement très peu le prix de l’option.143© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
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Corrigés des exercices
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avec o (x) un terme négligeable. O
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7 Vous allez devoir estimer 200 ren
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Exercice 4Solution⎛⎞0, 01000 0,
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Fig. 1.1 : Les enveloppes de portef
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⎛portefeuille M : E [R M ] = 9, 8
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Dans le repère (0, E [R] , σ), il
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Au total, on trouve :σ 2 P = 1 (N
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où λ est le multiplicateur de Lag
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Notons qu’il n’existe pas d’e
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La première expression démontre q
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pointe vers la droite (et donc les
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changement de variable N −1 [u] =
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fort. Le coefficient d’asymétrie
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Fig. 2.7 : Détermination graphique
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Chapitre 3Exercice 1Solution1 La mi
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On trouve évidemment des valeurs i
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estimer σ 2 t. On peut d’ailleur
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La figure 3.4 compare trois volatil
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Fig. 3.6 : Recherche du lambda opti
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L’égalité (1) vient de la norma
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La structure par terme de volatilit
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Fig. 3.8 : Volatilité conditionnel
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Exercice 9SolutionOn va estimer les
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Chapitre 4Exercice 1Solution1 On tr
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soit encorep (t 0 + 1, t 0 + 16) =
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la rente perpétuelle demande un mo
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Les taux d’intérêt spot et forw
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Exercice 6Solution1 Cette obligatio
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Et, en utilisant cette valeur dans
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6 Dans le dernier point, on envisag
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On pourra vérifier l’égalité d
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avec une valeur de u de un. La somm
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V (R), on trouve V ′ (R) = −CR
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second ordre le sous-évalue systé
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Exercice 5Solution1 On trouve :D ef
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Exercice 7Solution1 On peut démont
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4 Dans la mesure où un butterfly e
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3 Sur le prix d’un zéro-coupon d
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