Corrigés des exercices - Pearson

2 Si l’on connaissait les coordonnées des points (0, r f ) et (E [R M ] , σ M ), la pente serait E[R M]−r fσ M(ce rapport est connu sous le nom de ratio de Sharpe).3 a) En considérant r f = r f X ′ U, le Lagrangien s’écrit :L 4 (X) = X′ (R−r f U)√X′ VX .b) Les conditions de premier ordre sont ∂L 4∂Xsoit encore := 0. On a :(R − r f U)(X ′ VX) − 1 2X ′ (R−r f U) VX= 0,1/2 2 (X ′ VX) 3/2(R−r f U) = γVX,si l’on note γ la constante X′ (R−r f U)X ′ VX. On a donc :γX = V −1 (R−r f U) ,et γX est un vecteur colonne. Puisque U ′ γX = γ est une constante. On a γ = U ′ V −1 (R−r f U).On peut donc écrire :X = V−1 (R−r f U)U ′ V −1 (R−r f U) .Vous venez de redémontrer une partie des résultats exposés dans Merton (1972), Lauréat en1998 du prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d’Alfred Nobel.Exercice 11SolutionÉtant donnée votre fonction d’utilité logarithmique et votre contrainte de budget, vous cherchezà résoudre :max E [ ln ( 1 + w T R 1)], s.c. w T U = 1.La fonction d’utilité admettant par ailleurs le développement limité :ln ( 1 + w T R ) ≃ w T R− 1 2 wT R T Rw,on peut écrire :E [ ln ( 1 + w T R )] [≃ E w T R− 1 ]2 wT R T Rw= w T E [R] − 1 2 wT E [ R T R ] w.On a donc :E [ ln ( 1 + w T R )] ≃ w T µ − 1 2 wT Σw.Pour tenir compte de la contrainte de budget, vous devez étudier le Lagrangien associé :16L (w,λ) = w T µ − 1 2 wT Σw−λ ( w T U − 1 ) ,© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux