Corrigés des exercices - Pearson

Pour le moment d’ordre deux, on a :E [ ] ∑∞dq 2 t = i 2 Pr [dq t = i] = 1 2 Pr [dq t = 1] = λdt.i=1La variance instantanée est donc :var [dq t ] = E [ dq 2 t]− E [dqt ] 2} {{ }=(λdt) 2 =0On note en outre E [dq t × dt] = E [dq t ] × dt = λdt 2 = 0.= λdt.– Le processus compensé q c est une martingale, si E [q c t | F s] = q c s, où F s est l’informationpossédée à la date s. On sait par ailleurs que E [q c t | F s] = E [q t − λt| F s ], que λt est un termenon aléatoire et que q t = q t − q s + q s . On a donc :E [q c t | F s] = E [q t − q s | F s ] + q s − λt.Puisque, maintenant, le terme q t − q s est indépendant de l’histoire du processus jusqu’en s(et donc de l’information F s ) et que la loi de (q t − q s ) est identique à celle de q t−s , on a :E [q c t | F s] = E [q t−s ] + q s − λt= λ (t − s) + q s − λt= q s − λs= q c s.2 On peut aisément simuler des chocs dans la mesure où l’on dispose d’un module de générationde variables aléatoires de loi de Poisson. On peut également remarquer que les accroissementsdq t sont assimilables à des variables de Bernoulli sur les petites périodes qui nous intéressent(la probabilité d’observer deux sauts sur la même journée est faible et supposée négligeable).Dans les colonnes 2 et 3 du tableau suivant, on pose pour l’illustration Pr [dq t = 1] = λdt =10 % et Pr [dq t = 1] = λdt = 5 % et on simule des réalisations de variables aléatoires deBernoulli.ChocsProcessus de Poisson Processus de Poisson compenséNb sauts par an 36,5 18,25 36,5 18,25 36,5 18,25lambda x dt 0,1 0,05 0,1 0,05 0,1 0,05JOUR 0 01 0 0 0 0 -0,1 -0,052 0 0 0 0 -0,2 -0,13 0 0 0 0 -0,3 -0,154 0 0 0 0 -0,4 -0,25 0 0 0 0 -0,5 -0,256 1 0 1 0 0,4 -0,37 0 0 1 0 0,3 -0,358 0 0 1 0 0,2 -0,49 1 0 2 0 1,1 -0,4510 0 0 2 0 1 -0,511 0 0 2 0 0,9 -0,5512 0 0 2 0 0,8 -0,613 0 0 2 0 0,7 -0,6514 0 0 2 0 0,6 -0,7132Une fois ces chocs (dq t ) disponibles, on obtient deux trajectoires de processus de Poisson (dansles colonnes 4 et 5) en calculant :q 0 = 0q i = q i−1 + dq i .© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux