l’on place dans la suivante colonne. Et, si on note ε t+dt la réalisation de la date t + dt, on a :S t+dt = S t exp[rdt − kλdt + σ √ ]dtε t+dt (1 + k) (q t+dt−q t )et on obtient les trajectoires :Fig. 9.3 : Trajectoires de cours boursiers issus de processus mixtesk012010009001008008070060060500400403002020010001 37 73 109 145 181 217 253 289 325 36101 37 73 109 145 181 217 253 289 325 361La simulation d’une trajectoire d’un processus de ruine est identique, hormis le fait que latrajectoire s’arrête dès le premier saut. On a :Fig. 9.4 : Trajectoires de cours boursiers issus d’un modèle de ruine (pur ou mixte)Processus de ruine (pur)Processus de ruine mixte120120100100808060604040202001 37 73 109 145 181 217 253 289 325 36101 37 73 109 145 181 217 253 289 325 361134© 2010 <strong>Pearson</strong> France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
Exercice 2Solution1 Le paramètre µ J implique, en cas de saut, une variation moyenne du cours de k = µ J − 1.Dans la mesure où le paramètre µ J est soit supérieur, soit inférieur à 1, la variation attenduedu cours sera positive ou négative. µ J > 1 caractérise l’impact d’une information inattenduejugée plutôt bonne.La volatilité de l’action est l’écart-type de sa rentabilité. Le cours nous apprend que la variancede la rentabilité est donnée par :(1t var ln S )t= σ 2 + λ ( µ 2 ln J + σ 2 lnSJ).0L’énoncé nous donne σ 2 et λ. On doit calculer µ ln J et σ 2 ln J(voir la note de bas de page 5).On a :( )σ 2 0, 04ln J = ln 1 +µ 2 et µ ln J = ln ( ( )) 1µ J −J2 ln 0, 041 +µ 2 .JOn trouve :sigma 22,36 % 22,36 % 22,36 % 22,36 % 22,36 %mu_J 80,00 % 90,00 % 100,00 % 110,00 % 120,00 %sig_J 20,00 % 20,00 % 20,00 % 20,00 % 20,00 %lambda 1 1 1 1 1k -20 % -10 % 0 % 10 % 20 %mu_lnJ -25,35 % -12,95 % -1,96 % 7,90 % 16,86 %sig_lnJ 24,6 % 22,0 % 19,8 % 18,0 % 16,6 %On observe que k et µ ln J ont sensiblement la même valeur. Celle de la variance totale est alorsdonnée dans le tableau suivant :Total Var 0,1749 0,1150 0,0896 0,0888 0,1058Volatilité naïve 22,36 % 22,36 % 22,36 % 22,36 % 22,36 %Volatilité totale 41,82 % 33,91 % 29,93 % 29,79 % 32,53 %)Pour démontrer 1 t(ln var S tS 0= σ 2 + λ ( µ 2 ln J + σ2 ln J), il convient de reprendre l’équa-∏q T(tion (9.6). En notant Y T = J n , on a varn=1ln S tS 0)= var(σW t + ln Y t ) = σ 2 t+ var(ln Y t )∑q tavec ln Y t = ln J n . La deuxième égalité provient de l’indépendance entre les deux aléas.n=1Il suffit ensuite de calculer var(Y t ) :var (ln Y t ) = var (E [ln Y t |q t ]) + E [var (ln Y t |q t )]= var ( ) [ ]q t µ ln J + E qt σ 2 ln Jcar les variables ln J i sont <strong>des</strong> copies de la variable ln J. On a alors :var (ln Y t ) = µ 2 ln Jvar (q t ) + σ 2 ln JE [q t ]= µ 2 ln Jλt + σ 2 ln Jλt.135© 2010 <strong>Pearson</strong> France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
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Corrigés des exercices
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avec o (x) un terme négligeable. O
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7 Vous allez devoir estimer 200 ren
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Exercice 4Solution⎛⎞0, 01000 0,
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Fig. 1.1 : Les enveloppes de portef
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⎛portefeuille M : E [R M ] = 9, 8
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Dans le repère (0, E [R] , σ), il
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Au total, on trouve :σ 2 P = 1 (N
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où λ est le multiplicateur de Lag
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Notons qu’il n’existe pas d’e
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La première expression démontre q
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pointe vers la droite (et donc les
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3 On trouve le tableau 2.7.Tab. 2.7
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changement de variable N −1 [u] =
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fort. Le coefficient d’asymétrie
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Fig. 2.7 : Détermination graphique
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Chapitre 3Exercice 1Solution1 La mi
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On trouve évidemment des valeurs i
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estimer σ 2 t. On peut d’ailleur
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La figure 3.4 compare trois volatil
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Fig. 3.6 : Recherche du lambda opti
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L’égalité (1) vient de la norma
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La structure par terme de volatilit
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Fig. 3.8 : Volatilité conditionnel
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Exercice 9SolutionOn va estimer les
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Chapitre 4Exercice 1Solution1 On tr
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soit encorep (t 0 + 1, t 0 + 16) =
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la rente perpétuelle demande un mo
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Les taux d’intérêt spot et forw
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Exercice 6Solution1 Cette obligatio
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Et, en utilisant cette valeur dans
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6 Dans le dernier point, on envisag
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On pourra vérifier l’égalité d
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avec une valeur de u de un. La somm
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V (R), on trouve V ′ (R) = −CR
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second ordre le sous-évalue systé
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Exercice 5Solution1 On trouve :D ef
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Exercice 7Solution1 On peut démont
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4 Dans la mesure où un butterfly e
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