CorrigÃ©s des exercices - Pearson

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Pour le moment d’ordre deux, on a :E [ ] ∑∞dq 2 t = i 2 Pr [dq t = i] = 1 2 Pr [dq t = 1] = λdt.i=1La variance instantanée est donc :var [dq t ] = E [ dq 2 t]− E [dqt ] 2} {{ }=(λdt) 2 =0On note en outre E [dq t × dt] = E [dq t ] × dt = λdt 2 = 0.= λdt.– Le processus compensé q c est une martingale, si E [q c t | F s] = q c s, où F s est l’informationpossédée à la date s. On sait par ailleurs que E [q c t | F s] = E [q t − λt| F s ], que λt est un termenon aléatoire et que q t = q t − q s + q s . On a donc :E [q c t | F s] = E [q t − q s | F s ] + q s − λt.Puisque, maintenant, le terme q t − q s est indépendant de l’histoire du processus jusqu’en s(et donc de l’information F s ) et que la loi de (q t − q s ) est identique à celle de q t−s , on a :E [q c t | F s] = E [q t−s ] + q s − λt= λ (t − s) + q s − λt= q s − λs= q c s.2 On peut aisément simuler des chocs dans la mesure où l’on dispose d’un module de générationde variables aléatoires de loi de Poisson. On peut également remarquer que les accroissementsdq t sont assimilables à des variables de Bernoulli sur les petites périodes qui nous intéressent(la probabilité d’observer deux sauts sur la même journée est faible et supposée négligeable).Dans les colonnes 2 et 3 du tableau suivant, on pose pour l’illustration Pr [dq t = 1] = λdt =10 % et Pr [dq t = 1] = λdt = 5 % et on simule des réalisations de variables aléatoires deBernoulli.ChocsProcessus de Poisson Processus de Poisson compenséNb sauts par an 36,5 18,25 36,5 18,25 36,5 18,25lambda x dt 0,1 0,05 0,1 0,05 0,1 0,05JOUR 0 01 0 0 0 0 -0,1 -0,052 0 0 0 0 -0,2 -0,13 0 0 0 0 -0,3 -0,154 0 0 0 0 -0,4 -0,25 0 0 0 0 -0,5 -0,256 1 0 1 0 0,4 -0,37 0 0 1 0 0,3 -0,358 0 0 1 0 0,2 -0,49 1 0 2 0 1,1 -0,4510 0 0 2 0 1 -0,511 0 0 2 0 0,9 -0,5512 0 0 2 0 0,8 -0,613 0 0 2 0 0,7 -0,6514 0 0 2 0 0,6 -0,7132Une fois ces chocs (dq t ) disponibles, on obtient deux trajectoires de processus de Poisson (dansles colonnes 4 et 5) en calculant :q 0 = 0q i = q i−1 + dq i .© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
La quatrième colonne montre clairement que q = (q t ) t est un processus de comptage. Àl’arrivée du premier choc en date 6, le processus de Poisson fait un saut de taille 1. En date 9,le deuxième choc le fera bondir en 2, et ainsi de suite. Le processus compensé diminue continûmentle processus de Poisson de λdt. On obtient les deux trajectoires suivantes :Fig. 9.1 : Trajectoires de processus de Poisson pur et compenséTrajectoire de processus de PoissonTrajectoire de processus compensé50104540353086425201510201 37 73 109 145 181 217 253 289 325 361-25-401 37 73 109 145 181 217 253 289 325 361 -6Il est ensuite aisé de calculer :S t+dt = S t exp [rdt − kλdt] (1 + k) (q t+dt−q t )et on obtient les deux trajectoires suivantes selon la valeur du paramètre k.Fig. 9.2 : Trajectoires de cours boursiers issus de processus de Poissonk01209001008007008060060500400403002020010001 37 73 109 145 181 217 253 289 325 36101 37 73 109 145 181 217 253 289 325 361Pour ajouter l’impact d’un mouvement brownien, il convient de disposer de valeurs simuléesde la loi normale centrée réduite. On généère donc 365 réalisations d’une loi normale que133© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
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Corrigés des exercices
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avec o (x) un terme négligeable. O
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7 Vous allez devoir estimer 200 ren
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Exercice 4Solution⎛⎞0, 01000 0,
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Fig. 1.1 : Les enveloppes de portef
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⎛portefeuille M : E [R M ] = 9, 8
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Dans le repère (0, E [R] , σ), il
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Au total, on trouve :σ 2 P = 1 (N
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où λ est le multiplicateur de Lag
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Notons qu’il n’existe pas d’e
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La première expression démontre q
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pointe vers la droite (et donc les
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3 On trouve le tableau 2.7.Tab. 2.7
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changement de variable N −1 [u] =
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fort. Le coefficient d’asymétrie
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Fig. 2.7 : Détermination graphique
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Chapitre 3Exercice 1Solution1 La mi
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On trouve évidemment des valeurs i
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estimer σ 2 t. On peut d’ailleur
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La figure 3.4 compare trois volatil
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Fig. 3.6 : Recherche du lambda opti
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L’égalité (1) vient de la norma
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La structure par terme de volatilit
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Fig. 3.8 : Volatilité conditionnel
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Exercice 9SolutionOn va estimer les
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Chapitre 4Exercice 1Solution1 On tr
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soit encorep (t 0 + 1, t 0 + 16) =
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la rente perpétuelle demande un mo
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Les taux d’intérêt spot et forw
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Exercice 6Solution1 Cette obligatio
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Et, en utilisant cette valeur dans
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6 Dans le dernier point, on envisag
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On pourra vérifier l’égalité d
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avec une valeur de u de un. La somm
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V (R), on trouve V ′ (R) = −CR
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second ordre le sous-évalue systé
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Exercice 5Solution1 On trouve :D ef
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4 Dans la mesure où un butterfly e
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