CorrigÃ©s des exercices - Pearson

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2 Si l’on connaissait les coordonnées des points (0, r f ) et (E [R M ] , σ M ), la pente serait E[R M]−r fσ M(ce rapport est connu sous le nom de ratio de Sharpe).3 a) En considérant r f = r f X ′ U, le Lagrangien s’écrit :L 4 (X) = X′ (R−r f U)√X′ VX .b) Les conditions de premier ordre sont ∂L 4∂Xsoit encore := 0. On a :(R − r f U)(X ′ VX) − 1 2X ′ (R−r f U) VX= 0,1/2 2 (X ′ VX) 3/2(R−r f U) = γVX,si l’on note γ la constante X′ (R−r f U)X ′ VX. On a donc :γX = V −1 (R−r f U) ,et γX est un vecteur colonne. Puisque U ′ γX = γ est une constante. On a γ = U ′ V −1 (R−r f U).On peut donc écrire :X = V−1 (R−r f U)U ′ V −1 (R−r f U) .Vous venez de redémontrer une partie des résultats exposés dans Merton (1972), Lauréat en1998 du prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d’Alfred Nobel.Exercice 11SolutionÉtant donnée votre fonction d’utilité logarithmique et votre contrainte de budget, vous cherchezà résoudre :max E [ ln ( 1 + w T R 1)], s.c. w T U = 1.La fonction d’utilité admettant par ailleurs le développement limité :ln ( 1 + w T R ) ≃ w T R− 1 2 wT R T Rw,on peut écrire :E [ ln ( 1 + w T R )] [≃ E w T R− 1 ]2 wT R T Rw= w T E [R] − 1 2 wT E [ R T R ] w.On a donc :E [ ln ( 1 + w T R )] ≃ w T µ − 1 2 wT Σw.Pour tenir compte de la contrainte de budget, vous devez étudier le Lagrangien associé :16L (w,λ) = w T µ − 1 2 wT Σw−λ ( w T U − 1 ) ,© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
où λ est le multiplicateur de Lagrange. On retrouve une fonction très proche de celles abordéesdans le cours. En annulant la dérivée par rapport à w, on trouve :∂L (w,λ)∂w ∣ = µ − Σw ∗ −λU = 0.w=w ∗La solution, donnée par w ∗ = Σ −1 (µ − λU), dépend du multiplicateur de Lagrange. Pourle supprimer, on note que la contrainte de budget impose w ∗T U = 1. On a :w ∗T U = (µ − λU) T Σ −1 U = µ T Σ −1 U − λU T Σ −1 Uet donc w ∗T U = 1 si et seulement si λ = µT Σ −1 U−1U T Σ −1 U .Exercice 12SolutionL’enveloppe est significativement modifiée, comme l’illustre la figure suivante.Fig. 1.4 : Impact des rentabilités anticipées sur la forme de l’enveloppeE [R Y ] = 5 % E [R Z ] = 15 %12,00%12,00%11,00%11,00%10,00%10,00%9,00%9,00%8,00%8,00%7,00%7,00%6,00%6,00%5,00%5,00%4,00%8,00% 9,00% 10,00% 11,00% 12,00% 13,00% 14,00% 15,00% 16,00%4,00%8,00% 9,00% 10,00% 11,00% 12,00% 13,00% 14,00% 15,00%Les modifications sont effectuées ⎛toutes choses étant égales par ailleurs. Le portefeuille demarché dont la composition était ⎝ 18, 7 % ⎞ ⎛34, 7 % ⎠ devient ⎝ 32, 5 % ⎞1, 9 % ⎠ dans le premier cas. On46, 6 %65, 5 %voit alors que le second actif n’est presque plus représenté dans le portefeuille ⎛de marché ! Encas de modification de la rentabilité espérée de Z, la composition devient ⎝ 14, 1 % ⎞21, 4 % ⎠. Les64, 5 %variations sont bien significatives...17© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
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On pourra vérifier l’égalité d
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avec une valeur de u de un. La somm
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V (R), on trouve V ′ (R) = −CR
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La formule ( (6.6) peut donc s’in
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puis :d’oùOn a donc :∂ 2 ln A
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le cours du sous-jacent est inféri
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Chapitre 8Exercice 1Solution1 La fi
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La figure 8.2 confirme les résulta
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Le delta implique la fonction de r
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Fig. 8.5 : Les principaux grecs en
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La condition ∂ ln v∂ ln S = 2 s
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Exercice 8Solution1 Prix et princip
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Exercice 10Solution1 Le prix d’un
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2. Le cours de l’action est supé
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Pour le moment d’ordre deux, on a
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2 Idem 1.3 La formule d’évaluati
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Fig. 9.6 : Volatilité implicite et
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alors estimée en actualisant (sur
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Fig. 9.10 : Histogramme des prix ob
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