Corrigés des exercices - Pearson

Fig. 9.11 : Smile de volatilité24,80 %24,60 %24,40 %24,20 %24,00 %23,80 %23,60 %23,40 %23,20 %23,00 %22,80 %800,00 850,00 900,00 950,00 1000,00 1050,00 1100,00 1150,00 1200,00 1250,00avec, en notant V (0, T) = ∫ T [0 σ2S+ σ 2 p 0(u, T) − 2ρ r,S σ S σ p0 (u, T) ] du,h 1 (S 0 , K, T) = ln (S 0/ [Fp 0 (0, T)]) + 1 2V (0, T)√V (0, T)et h 2 (S 0 , K, T) = h 1 (S 0 , K, T) − √ V (0, T). On consultera le synthex pour la formule d’évaluationde l’obligation zéro-coupon dans le contexte de Vasicek (1977). La variance totalede l’actif est, elle, donnée par :[V (0, T) = T σ 2 S + σ2 rκ 2 + 2ρ ]r,Sσ S σ r 1 − exp [−κT] (− 2 σ2kκ 3 r + ρ r,S σ r σ S k )+ σ2 r1 − exp [−2κT]κ 2 .2κCette formule est très simple à calculer sur Excel. Si le taux instantané r 0 soit égal à 5%et θ Q = 5 %, σ r = 5%, k r = 1, alors le prix du zéro-coupon de maturité 3 mois et devaleur faciale unitaire est, selon le modèle de Vasicek (1977), 0,98758. Si, de plus S 0 = 1 000et σ S = 40 % et ρ rS = −0, 25 alors l’option d’achat de durée de vie 3 mois et de prixd’exercice le prix à terme vaut 79,3827. La variance totale est ici V (0, T) = 0, 0397, soit unevolatilité (annualisée) d’environ 40 %. Pour de nombreuses situations, catte variance ne changeque très peu en fonction de la corrélation (à moins de considérer des valeurs déraisonnables).On conclura que, dans le modèle de Vasicek, le comportement aléatoire des taux d’intérêtn’impacte que finalement très peu le prix de l’option.143© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux