Corrigés des exercices - Pearson

3 On trouve le tableau 2.7.Tab. 2.7 : Simulations de ES v,c (T)v 51-cmu sigma 95,00 % 97,50 % 99,00 % 99,90 % 99,99 %2,015 2,571 3,365 5,894 9,6760 1 2,2387 2,7278 3,4488 5,8203 9,445210 % 1 2,1387 2,6278 3,3488 5,7203 9,3452-10 % 1 2,3387 2,8278 3,5488 5,9203 9,545210 % 10 % 0,1239 0,1728 0,2449 0,4820 0,844510 % 20 % 0,3477 0,4456 0,5898 1,0641 1,789010 % 30 % 0,5716 0,7183 0,9347 1,6461 2,733610 % 40 % 0,7955 0,9911 1,2795 2,2281 3,6781Exercice 7Solution1 Le problème s’écrit plus formellement :[ −RMaxNc MaxVaR(T) − µσ]] [+ exp[2 −µRMax c MaxVaR(T) −RMaxσ 2 NLorsque µ = 0, on a pour les deux VaR : Nc MaxVaR(T) − µσ[ ][−Rc (T)−RMaxσ= c V et 2N]= c MaxVaR. (2.4)c MaxVaR(T )σ]= c MaxVaR.Pour[la première]lecture, conservons le seuil R c (T) pour la MaxVaR. On trouve alors c MaxVaR=2N −Rc (T)σ= 2c V . Autrement dit, la probabilité de voir la VaR franchie durant la périodeest deux fois celle de la voir atteinte à l’échéance !Pour la deuxième lecture, conservons le niveau c V pour la MaxVaR. On a alors R Maxc V(T) =−σN [ −1 12 c V]> −σN −1 [c V ] = R cV (T). Le seuil doit être plus élevé. Autrement dit, on vaplus loin dans les extrêmes (et cela pour être moins facilement atteignable).Pour la troisième lecture, on sait déjà que si on double le niveau c V pour la MaxVaR, onobtient :[ −RMax]c2NMaxVaR(T)= cσMaxVaR= 2c VaR,[ −RMax] [ ]csoit encore 2N MaxVaR(T)σ= 2N −Rc (T)σ. On a donc, après simplification,R Maxc MaxVaR(T) = R c (T). Autrement dit, on doit accepter de diminuer le seuil de confiance (enfait de 1 − c V à 1 − 2c V ) pour utiliser la VaR habituelle comme MaxVaR.2 Pour µ, σ et c connus, on peut calculer la VaR normale. Pour un niveau de MaxVaR arbitraire,on peut également calculer c MaxVaRpar la formule (2.4). En utilisant le solveur, on peutalors forcer la cellule contenant c MaxVaRà prendre exactement une valeur de c en faisant varierMaxVaR. On trouve alors le tableau 2.8.On affiche ici les décimales de c obtenues par solveur pour rappeler la démarche numérique.La dernière colonne permet de vérifier immédiatement que le seuil MaxVaR est bien plusgrand que la VaR puisque le rapport est strictement supérieur à un. Conformément à la questiona) (lorsque µ = 0), la première et deuxième lignes montrent que MaxVaR 5 % est identiqueà VaR 2,5 % . L’introduction d’une espérance de rentabilité strictement positive diminue25© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux