Corrigés des exercices - Pearson

Chapitre 8Exercice 1Solution1 La figure 8.1 regroupe l’ensemble des simulations, le graphique de gauche (droite) étant dédiéaux options d’achat (de vente). Conformément à la suggestion de la question 1 (2), on y areprésenté le cours de l’action S t (la valeur du cash Ke −r(T−t) ).Fig. 8.1 : Primes d’options en fonction de la valeur du sous-jacent et pour différents niveaux de volatilités.callput120120100100Ke rTt80S t 8Σ 4Σ 2Σ Σ808ΣcS t ;K,T60pS t ;K,T604Σ40402Σ2000 50 100 150 20020Σ00 50 100 150 200S tS tNous pouvons constater sur la figure 8.1 que le niveau de la volatilité influence fortement lavaleur des options. Plus la volatilité est forte, plus les options sont onéreuses. Les graphiquessuggèrent qu’à mesure que la volatilité augmente, la valeur du call tend vers S t , pendant quecelle du put converge vers Ke −r(T −t) . Il ne faudra donc pas être surpris de l’objet des questionssuivantes. Au total, les simulations corroborent les signes positifs indiqués dans le tableau 7.6du livre et la valeur théoriquement positive du vega des options (tableau 8.3 du livre). Et l’ondira pour finir que, dans le modèle de Black, Scholes et Merton, la volatilité future est biensupposée constante dans le temps, mais la fixation de son niveau à l’instant initial reste unpoint crucial pour les primes d’options.2 Idem 1.3 On s’intéresse d’abord au call, puis au put.– Le graphique de gauche de la figure 8.1 suggère que la prime du call tend vers S t , lorsqueσ tend vers de très grandes valeurs. Très logiquement, nous allons démontrer que :116lim c (S t; σ) = S t .σ→+∞La formule de BSM nous apprend que la prime du call est donnée par :c (S t ; σ) = S t N [d 1 (σ)] − Ke −r(T−t) N [d 2 (σ)] ,avec N la fonction de répartition de la loi normale. La limite de cette prime est donc :{}lim c (S t; σ) = lim S t N [d 1 (σ)] − Ke −r(T−t) N [d 2 (σ)]σ→+∞ σ→+∞= S t lim N [d −r(T −t)1 (σ)] − Ke limσ→+∞σ→+∞ N [d 2 (σ)] .© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux