Corrigés des exercices - Pearson

Chapitre 1Exercice 12Solution1 L’approche la plus naturelle consiste à étudier la somme des rentabilités géométriques déterminéessur chaque période. On a par définition :n∑( ) ( ) ( )R g i (1) = Rg 1 (1) + Rg 2 (1) + ... + Rg n (1) = ln P1 P2Pn+ ln + ... + ln .P 0 P 1 P n−1i=1Or, la somme des logarithmes de n termes est le logarithme du produit de ces n termes :(R g 1 (1) + Rg 2 (1) + ... + Rg n (1) = ln P1× P 2... ×P )n,P 0 P 1 P n−1que l’on peut simplifier. Et on trouve ∑ ni=1 Rg i (1) = ln (PnP1)= R g n (n).2 Avec les notations développées du texte, la valeur du portefeuille à la date t s’écrit P P t =∑ NSi=1 n iP i t et la rentabilité arithmétique ex post du portefeuille (voir l’expression (1.2) dulivre) :On trouve donc :R P t ==∑ NS∑ NSR P t = PP t − P P t−∆tP P t−∆ti=1 n iP i t − ∑ N Si=1 n iP P t−∆tn iP ii=1t−∆t+P P t−∆t+ DivP [t−∆t,t]Pt−∆tP . (1.1)∑ NS()Pt i − Pt−∆t i + Divi [t−∆t,t]..n iDiv ii=1 [t−∆t,t],P P t−∆t()Le terme Pt i − Pt−∆t i + Divi [t−∆t,t]est égal à Pt−∆t i Ri t, où R i t est la rentabilité arithmétique.On a donc R P t =∑ NSn i Pt−∆t i Ri ti=1Pt−∆tP∑N S[R P ni Pt−∆tit =i=1, soit encore :P P t−∆t]∑N SR i t =i=1x i R i t. (1.2)La rentabilité arithmétique du portefeuille est bien une combinaison linéaire des rentabilitésindividuelles. Le terme entre crochets (x i ) est la valeur investie dans la société (i) divisée parla valeur du portefeuille. C’est donc le pourcentage de votre richesse qui est investi dans lai-ième société.3 Appliqués aux deux expressions (1.6) du livre, les développements limités des fonctions logarithmeet exponentielle nous donnent, après simplification :R a t = R g t + 1 2! (Rg t )2 ∆t + 1 )3! (Rg t )3 ∆t 2 + o((R g t )3 ∆t 2 , (1.3)R g t = Ra t − 1 2 (Ra t )2 ∆t + 1 )3 (Ra t )3 ∆t 2 + o((R a t )3 ∆t 2 . (1.4)© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux